老王的夢田

若三角形ABC是銳角三角形，過A和C做圓，圓心為O，且與邊AB和AC分別交於K和N。假設三角形ABC的外接圓和三角形KBN的外接圓交於B和M，試證∠OMB是直角。

令I、J分別是三角形ABC和三角形BKN的外心，

∠AON＝2∠ACB

∠AIB＝2∠ACB

∠BJN＝2∠BKN

AKNC共圓

所以∠ACB＝∠BKN

故∠AON＝∠AIB＝∠BJN

而且三角形AON、AIB、BJN都是等腰三角形，

所以這三個三角形相似，

AO/AN＝AI/AB＝BJ/BN

進一步∠BAN＝∠IAO，所以三角形AIO和ABN相似，

故OI/BN＝AI/AB＝BJ/BN，於是有OI＝BJ

同理可得OJ＝BI

故OIBJ是平行四邊形

直線IJ是BM的中垂線

所以∠IBJ＝IMJ

故OIJM共圓

又OI＝BJ＝JM

所以IJ//OM

故OM⊥BM

∠OMB＝90°

九七年台中區複賽考了一題實際上是相同的問題：

可以用同樣方式證明出BMON是平行四邊形，
然後OF//MN，
因為BF⊥MN，所以∠BFO為直角。

可是參考解答用了一個奇怪的同一法。