老王的夢田

五個等圓

過P點有三個半徑皆為R的圓，分別交於另外三點A、B、C，試證：P為三角形ABC的垂心。

【證明】

如圖，假設三圓圓心分別是O、M、N；延長PO和圓O交於E，延長PM和圓M交於F。那麼
∠PAE＝∠PAF＝90°，所以A在EF上；
O、M是PE和PF的中點，所以OM//EF；
又PA⊥OM，所以PA⊥EF。

而PE＝PF，故A是EF中點。

同樣的，延長PN與圓N交於D，那麼
B為DF中點，C為DE中點，就有BC//EF；

故PA⊥BC。

同理PB⊥AC，PC⊥AB，
P為三角形ABC的垂心。

顯然，以P為圓心，R為半徑的圓，會通過O、M、N三點。

第五個圓在哪？猜測應該就是過A、B、C的圓。

理由呢？

因為P是三角形ABC的垂心，
所以∠BAC＋∠BPC＝180°，

BC/sin∠BAC＝BC/sin∠BPC＝2R，

故三角形ABC的外接圓半徑為R。

換個角度來看，若P為三角形ABC的垂心，那麼也會有三角形PAB、三角形PBC、三角形PAC的外接圓半徑與三角形ABC的外接圓半徑相等。

如此一來，若令PA＝x、PB＝y、PC＝z，由面積關係就可以得到
(ABC)＝(PAB)＋(PBC)＋(PAC)

abc/4R＝cxy/4R＋ayz/4R＋bxz/4R

即abc＝cxy＋ayz＋bxz，

或是寫成a/x＋b/y＋c/z＝abc/xyz

再將PA＝2RcosA、PB＝2RcosB、PC＝2RcosC以及正弦定理代入，就會得到
tanA＋tanB＋tanC＝tanA×tanB×tanC

最後，因為這些都是等圓，所以
三角形PAB的外接圓和三角形ABC的外接圓對稱於AB；

三角形PBC的外接圓和三角形ABC的外接圓對稱於BC；

三角形PAC的外接圓和三角形ABC的外接圓對稱於AC。

意思就是，垂心關於三邊的對稱點都在外接圓上，而且只有垂心有此性質。