老王的夢田

圓內接四邊形性質

之前講過圓內接四邊形若對角線互相垂直，那麼過對角線交點作一邊的垂線，會過對邊的中點。如果把這個中點看成直角三角形斜邊中點，就自然想到這是外心。於是將此性質推廣到一般的情況。

【性質】

ABCD為圓內接四邊形，對角線AC和BD交於E，令三角形ABE的外心為O₁，那麼過E作CD的垂線會過O₁，反之O₁E垂直CD。

【證明】

如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4＝∠5，

∠1＋∠3＝∠2＋∠5

所以若EH⊥CD

∠1＋∠3＝90°

∠2＋∠5＝90°

EF為直徑，就會過O₁

反之亦真

如此一樣可以得到這個推廣的性質

【性質】

ABCD內接於圓O，對角線AC和BD交於E，令三角形ABE、BCE、CDE、DAE的外心分別為O₁、O₂、O₃、O₄，那麼

(1).     OO₁EO₃、OO₂EO₄為平行四邊形

(2).     OE、O₁O₃、O₂O₄三線共點

【證明】

由前述性質得到O₁E⊥CD，

又CD是圓O和圓O₃的公共弦，

所以OO₃⊥CD，

故O₁E//OO₃

同理可得OO₁//O₃E

故OO₁EO₃為平行四邊形

同樣的OO₂EO₄為平行四邊形

而它們的對角線交點會是同一個點，

故OE、O₁O₃、O₂O₄三線共點

(也可以知道O₁O₂O₃O₄為平行四邊形)