四面為全等三角形的四面體體積
附中九十六學年度第一學期高二第二次段考自然組有題填充題是這樣的：
將邊長分別為8、10、12的三角形的各邊中點連接，形成四個三角形，它是一個四面體的展開圖，求這個四面體的體積為何？
前年底會看到這題是因為當時有同事把這年的段考題印出來給學生練習，然後不會作。我的第一個反應是「這什麼跟什麼嗎？難怪大家要去補習！」。因為之前研究教甄題的時候遇到一個奇怪的四面體體積問題(後來猜測是題目出錯了)，有搜尋了一下各種做法，所以就直接上網，在底下的網頁找到公式：
http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html
裡面的第(34)式和(35)式。
不過還是會思考的啦，回家後想到一個作法，隔天來到學校後看到 鄭 老師在跟別的老師講東西，我沒過去聽，可是我知道在講這個問題，因為我看到 鄭 老師比手畫腳要講的就是同樣的作法。
如圖，當我們把三角形AEF固定EF邊向上摺起，那麼A點在平面上的投影的軌跡會跟EF垂直，也就會跟BC垂直；同樣的B的投影點軌跡跟AC垂直，C的投影點軌跡跟AB垂直。這樣一來，當摺成四面體P-DEF時，P在平面上的投影點H就會是三角形ABC的垂心。剩下的就是計算工作了：
AF＝PF＝RsinC (R為三角形ABC外接圓半徑)
2(HF2＋AF2)＝HA2＋HB2
HF2＝[(2RcosA)2＋(2RcosB)2－2AF2]/2
PH2＝PF2－HF2＝2AF－[(2RcosA)2＋(2RcosB)2]＝2R2[1－(cos2A＋cos2B＋cos2C )]
＝4R2cosAcosBcosC
最後一式應為對稱的(因為可以從另外兩個方向去算)，實際上也是。
所以若四面體P-DEF的體積為V，則
V2＝(1/9)×(DEF)2×PH2＝(1/9)×(ABC/4)2×PH2＝(1/9)×(abc/16R)2×4R2cosAcosBcosC
＝(a2＋b2－c2)(b2＋c2－a2)(c2＋a2－b2)/4608
這樣證明了(34)式。(想一想常數為何不同？)
前幾天在Math Pro網站看到更巧妙的作法，趕緊學下來：
這樣的四面體看成從某個長方體切出來的，
這樣子只要先找到這個長方體的三條稜長，就可以輕易算出四面體的體積了。
設長方體的三條稜長為x、y、z
x2＋y2＝a2
y2＋z2＝b2
z2＋x2＝c2
四面體的體積就是xyz－4×(xyz/6)＝xyz/3，也可以得到(34)式。
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