老王的夢田

過三角形外一點作周長平分線

【已知】

ΔABC以及一點P

【求作】

過P作一直線平分三角形ABC的周長

【作法】

1.          令周長為L，分別在AB和AC上取D和E，使得AD＝AE＝L/4

2.          過D作AB的垂線，再過E作AC的垂線，兩線交於K

3.          過P作AB的平行線與直線AK交於F

4.          作過F、P、K三點的圓，與AC交於G

5.          連接直線PG為所求

【證明】

1.          在ΔADK和ΔAEK中，AD＝AE，AK＝AK，∠ADK＝∠AEK＝90°
故ΔADK@ΔAEK，DK＝EK且∠DAK＝∠EAK

2.          連接GK，∠KGP＝∠KFP＝∠KAH，故AGKH四點共圓

3.          連接HK，因為弧GK＝弧HK，所以GK＝HK

4.          綜上所述，得到ΔKDH@ΔKEG，DH＝EG

5.          AH＋AG＝AD＋DH＋AG＝AD＋AG＋GE＝AD＋AE＝L/4＋L/4＝L/2