老王的夢田

作半圓內接正方形

給定以AB為直徑的半圓，求作它的內接正方形，使得兩頂點在直徑AB上，而另外兩頂點在半圓弧上。

這問題看來跟給定三角形作內接正方形很像，所以試試相同的作法：

第一種：

計算可知正方形邊長和半徑之比為2：√5，照這比例作就是。

第二種：

先以AB為邊作一個正方形(往哪邊都行)，然後連接另外兩個頂點和半圓中心，與半圓弧分別有兩個交點P，Q，再從這兩點作直徑垂線得兩垂足S、R，那麼PQRS即為所求。

第三種，先在半圓上取較靠近A的一點C，過C作AB的垂線，垂足為D；以CD為邊作正方形CDEF，其中E在AB上；接著作射線AF和半圓弧交於G，過G作AB的平行線交半圓弧於H、又作AB的垂線垂足為I，此時會發現GH和GI並不相等！！

上面的結果告訴我們，半圓的情況和三角形其實是不盡相同的，究其原因是半圓是圓弧，而三角形的邊是直線，在這樣的操作下，直線仍然變為直線，但是圓就不會變成是直線了。那麼好奇的是，圓會變成什麼？變成另一個圓嗎？

我們要作的事情就是，當C點在半圓上變動時，F點的軌跡會是什麼？觀察F和C的關係，F是將C往右(或是往左)沿著平行x軸的方向移動，移動的量就是C點的高。基本上，這個操作，我們數學上稱為「推移」，這東西在95暫綱已經取消了，99的課綱裡面也不復出現，只好在此憑弔一下！！

知道是推移，就知道它會把圓變成橢圓。不知道的可以這樣作：

假設AB為直徑的圓方程式為x²＋y²＝1，令C為(x,y)，F就是(x＋y,y)，

再令u＝x＋y，v＝y；就有x＝u－v，y＝v，

代入得到(u－v)²＋v²＝1，再換回為(x－y)²＋y²＝1，展開就得到一個斜的橢圓。

同理，如果F是(x－y,y)，就得到(x＋y)²＋y²＝1