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【例1】
設三角形ABC是銳角三角形，D為BC邊上一點，使得AB＝AD；
Γ1為通過C點的圓且與直線AB相切於B點；E為從C點至AB邊上之高上的一點，並設Γ2是以E點為圓心且與直線AD切於D點的圓。
證明：過圓Γ1與Γ2交點之直線通過A點。
證明：
A點對圓Γ1的冪為AB2
A點對圓Γ2的冪為AD2
而AB＝AD
故A在兩圓的根軸上
於是過圓Γ1與Γ2交點之直線通過A點
註：這個問題只要Γ2與直線AD切於D點即可；若以原題來看，應該要證明
【直線AC與圓Γ1與Γ2共交點】才是。
【例2】
給定三角形ABC，設以AB、AC為弦的任意兩個圓的交點為D，以BC為弦的任意圓與前兩圓的交點分別為E、F。又直線EF、FD、DE與直線BC、CA、AB分別交於X、Y、Z。證明：X、Y、Z三點共線。
證明：
作ABC和DEF的外接圓
因為B、C、E、F共圓
所以XB×XC＝XE×XF
故X對兩圓的冪相等
X在兩圓的根軸上
同理，Y、Z也在兩圓的根軸上
故X、Y、Z三點共線
註：這也可以用笛沙格定理來證明。
【例3】
以AB為直徑作半圓，圓心為O，P為線段AB上任一點，以A為圓心AP為半徑畫圓交半圓O於C；以B為圓心BP為半徑畫圓交半圓O於D。又M為CD中點，試證：MP為圓A和圓B的外公切線。
證明：
延長直線CD與圓A和圓B分別交於E和F
取CE中點K，連接AK；
取DF中點N，連接BN；
連接OM，那麼AK、OM、BN都跟直線CD垂直，也就有AK//OM//BN
因為AO＝OB，所以KM＝MN
又CM＝MD，故CK＝DN，也就有CE＝DF
於是MC×ME＝MC×MF，M對圓A和圓B的冪相等，
M在圓A和圓B的根軸上，故MP是兩圓外公切線。
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