角平分線與外接圓
在三角形ABC中,∠BAC的平分線與BC交於D,與外接圓交於X,若內心為I,那麼會有:
1. AD2=AB×AC-BD×CD
2. XB=XC=XI
3. AX×ID=AI×XI
【證明】
1. 在三角形ABX和ADC中
∠BAX=∠DAC,∠BXA=∠DCA
故兩三角形相似
AB/AD=AX/AC
AB×AC=AX×AD=(AD+DX)×AD=AD2+AD×DX=AD2+BD×CD(圓冪定理)
故AD2=AB×AC-BD×CD
2. ∠XIB=∠XAB+∠IBA=∠XBC+∠IBD=∠XBI
故XB=XI
而X是弧BC的中點,有XB=XC
故XB=XC=XI
3. 由1,AX/AC=BX/DC
AX/BX=AC/DC=AI/ID
故AX×ID=AI×XI
由第二點可以知道,X就是三角形BIC的外心;
將此圓作出,延長AX與圓交於另一點P,那麼P就是三角形ABC的傍心。
如果再作∠ABC的平分線以及∠ACB的平分線,分別與外接圓交於Y和Z,那麼會有AX+BY+CZ>AB+BC+CA
【證明】
法一
IA+IB>AB
IB+IC>BC
IC+IA>CA
ZA+ZB>AB
XB+XC>BC
YC+YA>CA
而ZA=ZB=ZI,XB=XC=XI,YC=YA=YI
將六個式子相加,就得到
2(AX+BY+CZ)>2(AB+BC+CA)
AX+BY+CZ>AB+BC+CA
法二
過X分別作AB和AC的垂線,垂足為M、N
可以知道三角形XBM和XCN全等
BM=CN
所以AB+AC=AM+AN=2AM
而AX>AM=(AB+AC)/2
同理BY>(BC+CA)/2
CZ>(CA+AB)/2
三式相加得到AX+BY+CZ>AB+BC+CA
連接XY交CZ於F,連接YZ交AX於D,連接XZ交BY於E;
因為XI=XB且ZI=ZB,
所以XIZB是鳶形,就有IB⊥XZ且IE=BE。
同理,IC⊥XY且IF=CF;
IA⊥YZ且ID=AD。
故EF//BC、DF//AC、DE//AB;
IEXF、IFYD、IDZE都是圓內接四邊形。
計算角度,可以知道
∠ZXY=(B+C)/2,∠XYZ=(A+C)/2,∠YZX=(A+B)/2
那麼計算三角形ABC和XYZ的面積,因為有相同外接圓,假設半徑為R,
(ABC)=2R2(sinA)(sinB)(sinC)
(XYZ)=2R2(sinX)(sinY)(sinZ)=2R2[sin((B+C)/2)][sin((A+C)/2)][sin((A+B)/2)]
=2R2[cos(A/2)][cos(B/2)][cos(C/2)]
所以比值(ABC)/(XYZ)=8[sin(A/2)][sin(B/2)][sin(C/2)]=2r/R...........(註)
由尤拉定理的推論知道R≧2r,
(XYZ)≧(ABC),
也就是我們證明了三角形XYZ的面積比三角形ABC要大,且只有在原來ABC是正三角形的時候,才會相等。
註:這篇三角形外接圓和內切圓關係定理5,後面是由推論2得到。
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