老王的夢田

給定三角形ABC及一點P，求作一直線過P，且平分三角形ABC的面積。

這個作圖會因為P點的位置而有不同作法：

一、P為頂點

作對應的中線即可

二、P在邊上

已知：△ABC，P為BC上一點

求作：過P作一直線平分△ABC面積

作法：

1.          取BC中點M

2.          連接AP

3.          過M作AP的平行線交AC於E

4.          連接PE為所求

證明：

∵EM//AP，∴(AEM)＝(PEM)

(CPE)＝(CEM)+(PEM)＝(CEM)+(AEM)＝(AMC)

故為(ABC)的二分之一

三、P在外部

已知：△ABC，P為外部一點

求作：過P作一直線平分△ABC面積

作法：

1.        取AB中點E，連接PE

2.        往AC的外部作△ACH使得△ACH~△APE

3.        過P作AB的平行線與AH的延長線交於K

4.        作△KHP的外接圓交AC於G

5.        連接直線PG即為所求

證明：

1.        令PG交AB於F，連接HG

2.        K、P、G、H共圓，所以∠AHG＝∠KPX＝∠AFP

3.        又∠HAG＝∠FAP(作圖2)

4.        故△AGH~△APF ＝＞ AH/AF＝AG/AP ＝＞ AF×AG＝AP×AH

5.        又△ACH~△APE ＝＞ AH/AE＝AC/AP ＝＞ AP×AH＝AE×AC

6.        故AF×AG/AB×AC＝AE×AC/AB×AC＝1/2

7.        也就是△AFG的面積為△ABC面積的一半