老王的夢田

從透視觀點看圓錐曲線

【透視變換】

「透視」這個名詞，我們日常生活中就會接觸到，尤其是在繪畫及建築上。沒錯，這邊要說的就是這樣的「透視」。實際上射影幾何的發展和繪畫有很深的關係，當時為了將眼睛所見忠實地表現在畫紙上，而去研究空間中線條表現在紙上的各種關係，而有了結果（如Pascal定理）；結合以前平面幾何的部份成果（如西瓦定理和孟氏定理），以及對第五公設的研究，進一步發展出射影幾何學。

什麼是透視變換？簡單來說，就是從你的眼睛看出去，把看到的影像投在一張畫布上；而立體的東西太複雜，我們就講平面投射到平面就好。在這之前，先看在平面上的情形。

假設眼睛位置是一個點P，以及兩條不過P的直線L與M。過P作一條直線，和L、M分別交於A、B，那麼可以想像，當我們從P的位置看過去時，把在L上的A點，投射成M上的B點；反過來看成將B投射在A也行。就這樣，我們把L上的每一個點都投射在M上，就稱這是一個經過P點將直線L變成直線M的「透視變換」，P點稱為透視點或是透視中心。

【無窮遠點】

要特別注意的是，如果L和M平行的話，感覺上沒有問題；如果L和M不平行，那麼過P平行M的直線與L交於點C，那麼C要投射到M上的哪一點？又過P平行L的直線與M交於點D，那麼D點又是哪個點的投射點？？

你可能會說：把這兩點送作堆不就好了！

不！非常不好！！因為不管怎麼看，都不能從P點把C和D看在一起。所以這樣的安排並不好。

為解決這個問題，提出了「無窮遠點」的概念。也就是在歐式幾何裡面，平行線是沒有交點的；但是現實世界裡面，當我們看到兩平行線時，會覺得這兩線的距離越來越小，一直延伸後「應該」會有個交點，我們就說它們交於「無窮遠點」。

於是說平行線交於無窮遠點；同樣方向的平行線交於相同的無窮遠點；每條直線上都有一個無窮遠點，從左邊或是右邊過去是相同的；所有的無窮遠點都在一條直線上，此直線稱為無窮遠線；任兩直線都有一個交點……等等，凡此之類，都是射影幾何的東西，有興趣自行找書參考。

有了「無窮遠點」，就可以解決上面的C和D的問題：將C投射到M的無窮遠點，將L的無窮遠點投射到D。

在繪畫裡的透視畫法，一開始就會告訴你，當你往遠處看出去，海與天會交於一條線，如果把畫紙放上去，這條線稱為「地平線(HL)」；那麼每一組平行線延伸後，都會交於HL上的一點，稱為此方向的「消失點(VP)」。那VP就是「無窮遠點」；HL就是無窮遠線。也就告訴大家無窮遠點和無窮遠線並不是那麼遙遠的，它們是實際上有用處的。

【空間中的透視】

將一個平面透過一個點，投射到另外一個平面上，方法如同平面上兩直線的方式，這就是空間中的透視。

我們知道圓錐曲線是平面截圓錐而成的圖形，那麼假設圓錐的頂點為V，平面E₁和圓錐相交圖形為Γ₁，
平面E₂和圓錐相交圖形為Γ₂。那麼以V為透視中心的透視變換，不就將Γ₁變換成Γ₂了嗎？(反過來說也對)

我們可以發現，平面上的伸縮變換，是透視變換的特例，它是在被透視平面與投射面平行的情況。顯然離心率相同的圓錐曲線是相似的，而當我們將截面繞其上某條直線旋轉時，可以轉出各種不同離心率的圓錐曲線。於是，就說明了任何一個圓錐曲線都可以在某個圓錐上被截出來，也就說明了任兩個圓錐曲線必然可以由此圓錐的頂點透視。

【透視變換保持交比】

我們對於變換，要了解的是在此變換之下，哪些東西是不會改變的？保距變換不改變大小和形狀，所以保持長度、角度、線段比和面積比；相似變換會改變大小，但不改變形狀，所以只保持了角度、線段比和面積比；而在透視變換下，大小和形狀都改變了，不改變的只有直線和直線相交的情況，所以只保持交比。

總結而言，所有圓錐曲線會有相同的射影性質，那麼之前所講關於圓的射影性質，在其他的圓錐曲線也會有，例如極線，只是圓有圓心，而其他沒有，所以稍作修正即可。

【後記】

關於射影幾何，我也是正在研究中，已經發表過的基本上可以當成自己所做的整理筆記，只是這東西不是主流數學，所以能找到的資料不多，大部分是 從趙文敏 老師的<<幾何學概論>>、世部貞市郎的<<幾何學辭典>>，以及蘇聯青年叢書<<只用直尺的幾何作圖>>，這三本書當參考書籍，以及一些網路上的資料做整理。

介紹這些主要也是為了現階段學到圓與圓錐曲線，介紹另外一種看法。

其實射影幾何幾個大定理，如Pappus定理、Desargues定理、Brianchon定理、Pascal定理等等，還沒有提到，尤其是Pascal定理，那是給五點畫圓錐曲線的重要依據，以後會找時間提。至於用解析法研究射影幾何，那不是我的興趣。

還有，射影幾何裡面有個很重要的觀念叫做「對偶」，這方面我還沒有想得清楚。