老王的夢田

我們要證明若是截面的傾斜度與母線平行時，截痕為拋物線。

【第一部分】

令包含L₀且與E垂直的截面上為π，那麼就平面π來看，此時平面E變成一條直線L，與母線VZ₂平行，與VZ₁交於A。L₀為∠Z₁VZ₂的平分線，作∠A的平分線與L₀交於O，那麼以O為圓心可以作圓與VZ₁、VZ₂、L都相切，令切點分別是Q₁、Q₂、F。顯然Q₂F是直徑，那麼FQ₁就和Q₁Q₂垂直；OFAQ₁為箏形，故OA和FQ₁也垂直。於是OA和Q₁Q₂平行；延長Q₁Q₂和L交於D，就有AF＝AD。

將圓O繞L₀轉一圈，就會變成圓錐的內切球；這個球也可以看成繞FQ₂轉一圈，很明顯的這個球跟平面E也相切。於是我們的確找到一個球，與圓錐相切，並且與截平面相切。

在E的下方能否找到另一顆球有同樣性質呢？很明顯的，圓錐被E分開了，在E下方的球不可能跟E相切又與圓錐相切。

【第二部份】

內切球與圓錐相切於一個圓，假設包含此圓的平面為E₁，那麼E₁和E的交線就稱為「準線」。平面E₁和平面π的交線為Q₁Q₂，所以D點會是三個平面E、E₁和π的交點。

平面π和E及E₁都垂直，所以平面π和準線垂直；L也在平面π上，且L通過D點，故L和準線垂直。

在E和圓錐的交集上選一點P，假設過P且垂直L₀的平面和母線VQ₁、VQ₂的交點為P₁、P₂，令P₁P₂和L的交點為M，我們可以知道M是三個平面的交點，MD和準線垂直以及MD和PM垂直。於是當我們從P作準線的垂線PK時，四邊形PKDM會是矩形，有PK＝MD。

又MD和P₂Q₂平行，MP₂和DQ₂平行，所以MDQ₂P₂是平行四邊形，就有
MD＝P₂Q₂

連接VP，和內切球交於Q，將母線VQ₂P₂會旋轉成VQP，所以P₁Q₂＝PQ。

P點對於內切球的切線都相等，所以PF＝PQ。

綜上所述，PF＝PQ＝P₁Q₂＝MD＝PK。

於是我們證明了這個截痕是拋物線。

要注意的是：「焦點」是內切球和截面的切點；「準線」是內切球和圓錐的切圓所在平面與截面的交線。