交比（cross ratio）
「交比」是射影幾何的重要元件，分成以下三類：
四共線點的交比、四共點線的交比、四共圓點的交比。定義分述如後：
【有向線段比】
如果一直線上有三點A、B、C，定義有向線段比AC/CB為
若向量AC和向量CB同向，也就是C在A、B之間，則AC/CB＝AC/CB。
若向量AC和向量CB反向，也就是C在A、B之外，則AC/CB＝－AC/CB。
【四共線點的交比】
若A、B、C、D四點共線，定義交比(ABCD)或是(A，B；C，D)為
(ABCD)＝(AC/CB)：(AD/DB)
舉例來說，若(A、B；C、D)是調合點列，那麼交比(ABCD)
＝(AC/CB)：(AD/DB)＝(AC/CB)：[－(AD/DB)]＝(AC/CB)：[－(AC/CB)]＝－1
如果在線外取一點P，記直線PA、PB、PC、PD分別為a、b、c、d，再記PA、PB的夾角∠APB為(a，b)等等，
先看△PAC和△PBC，由面積關係可以得到
(PAC)/(PBC)＝AC/CB＝PA×PC×(sin∠APC)/PB×PC×(sin∠BPC)
＝[(sin∠APC)/ (sin∠BPC)]×(PA/PB)
同理可以得到
AD/DB＝[(sin∠APD)/ (sin∠BPD)]×(PA/PB)
【四共點線的交比】
我們知道夾角(a，b)有兩個，但是正弦值是相等的。但是若我們考慮方向，令(a，b)表示由PA為始邊，PB為終邊的角度，此時夾角就有正負號。那麼若是C在A、B之間，(a，c)和(c，b)同號；若是C在A、B之外，(a，c)和(c，b)異號。接著定義四共點線的交比(abcd)或是P(A，B；C，D)為
(abcd)＝(sin(a，c)/sin(c，b))：(sin(a，d)/sin(d，b))
由交比定義以及上面的關係式可以知道，(ABCD)＝(abcd)
【四共圓點的交比】
若A、B、C、D四點共圓，在圓上另取一點P，那麼由於圓周角的性質知道，線交比P(A，B；C，D)的值與P點位置無關，就定義四共圓點的交比(ABCD)或是(A，B；C，D)＝P(A，B；C，D)
在處理射影幾何時，常會用到點和線的交比；處理反演幾何問題，就會用到圓的交比。不過也可以用來處理一般的幾何問題。
先看個定理：
【透視保持交比】
現有共點線束a、b、c、d，直線L與它們的交點依序為A、B、C、D；直線M與它們的交點依序為E、F、G、H，那麼
(ABCD)＝(EFGH)
【證明】
由定義(ABCD)＝(abcd)＝(EFGH)
得證
由此我們可以知道，調合點列不過是交比性質中的特例罷了。
最後，介紹用交比來處理幾何問題。
【例題1】
如圖AB＝BC＝CD＝1，EF＝2，FG＝3，求GH＝？
【解】
因為(ACBD)＝(EGFH)
假設GH＝x
1/1：3/1＝2/3：(5＋x)/x
解得x＝5
這是去年(97)附中第二次教師甄試的題目，也可以用孟氏定理去解，但是容易陷入一堆比例式之中。
【例題2】
證明蝴蝶定理的一般型式：
設AB是圓O的一弦，M是AB上任一點，過M作圓O的兩弦CD和EF。若CF與DE分別交AB於G、H，而G在AM上且H在BM上，試證：
1/GM－1/HM＝1/AM－1/BM
【證明】
A、D、F、B共圓，C、E在圓上，所以圓交比(ADFB)從C或E來看是相同的
線交比C(A，D；F，B)＝E(A，D；F，B)，
轉換成直線AB的交點為點交比(AMGB)＝AHMB)
(AG/GM)：(AB/BM)＝(AM/MH)：(AB/BH)
AG×BM/GM×AB＝AM×BH/MH×AB
AG×BM/GM＝AM×BH/MH
AG/AM×GM＝BH/BM×HM
(AM－GM)/AM×GM＝(BM－HM)/BM×HM
1/GM－1/AM＝1/HM－1/BM
1/GM－1/HM＝1/AM－1/BM
得證
蝴蝶定理是在M是AB中點的特殊情況，當此之時，由上式也可以馬上得到
GM＝HM
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