老王的夢田

有關根軸性質請參考

極線的性質三

極線的性質二

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阿基米德牛群問題

第一次見到這個問題的時候，是在數學傳播第二卷第四期的一篇翻譯文章----組合學是什麼，裡面的附錄。至於當時為什麼有數學傳播可以看，是因為那時中研院送的！！聽說是存貨太多，就送給各高中；學校覺得我們可能有興趣，就給我們班一人可以有個四五本。這篇文章沒有電子檔，所以就把書上的文章抄下：

噢，陌生人，如果你真得夠努力夠聰明的話，請你來算算牛群的數目。從前那些牛畜養在西西里的特利那西亞島的草原上。按顏色來分，它們一共有四群：白的、黑的、黃的、花斑的。每一群都有許多公牛，它們的比例如下：聽好了，陌生人，白色公牛數等於黑色公牛的一半再加三分之一，然後再加上黃色公牛總數；黑色公牛數等於花斑公牛的四分之一再加五分之一，然後再加上黃色公牛數，此外花斑公牛等於白色公牛的六分之一再加七分之一，然後再加上黃色公牛總數。下面是母牛分配的比例：白色母牛數等於所有黑牛數的三分之一再加四分之一；黑色母牛數等於蓄養的花斑牛包括公牛在內總數的四分之一再加五分之一；花斑母牛數等於所有黃色牛數的五分之一再加六分之一；最後黃色母牛數等於所有白色牛數的六分之一再加七分之一。噢，陌生人，如果只告訴你公牛的總數，或只告訴你每一種顏色母牛的數目，你算不出全體牛群的總數，那麼還不能說你對數目沒有才能，但你也就不算是真正的智者了。不過再看看太陽下牛群所滿足的其他條件。當白色公牛與黑色公牛混合在一起時，它們緊緊的排成一個橫寬與縱深相等的隊形，整個蓋滿了特利那西亞的平原。同樣如果把黃色公牛與花斑公牛放在一處，從一頭開始，一行行增加，直到排成一個三角形的隊伍。噢，陌生人，如果你能夠在心中把各種關係分清楚，算出所有相關的數目，那麼在這種才智上，你可算是相當了不起了。

唸數學系的時候，教官給我一份資料，就是這個問題的解答；前面幾頁講解法，接著大約十幾頁，給出了最小的解！！如果沒有電腦，這怎麼算啊！！！

大致說一下解法：

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阿基米德的鞋匠刀(三)

阿基米德引理書第五個命題：

一線上三點A、C、B，分別以AC、CB、AB為直徑向同側作半圓，D在半圓AB上且與AB垂直，在CD的兩側分別作圓與CD相切，與半圓AB內切，且分別與半圓AC、CB外切，則此兩圓相等。

【證明】

先看其中一圓

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阿基米德引理書(Archimedes' Book of Lemmas)第六個命題：

(參考網站http://agutie.homestead.com/files/ArchBooLem00.htm)

【命題六】

直線上有A、C、B三點，C在AB之間；分別以AB、AC、BC向直線的同側作半圓，接著再作另外一個圓與半圓AB內切，且與半圓AC、BC皆外切。令此圓直徑為DE，
若 AC/BC ＝ r ，則 DE/AB ＝ r/(r²＋r＋1) 。

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阿基米德的鞋匠刀

阿基米德真神人也!!!!!

但是可惜的是，網路上找得到的東西，都是外國(含中國)的！我想這是長久以來台灣不重視古典幾何的結果，讓這些美妙的證明，沒有被國人所接觸。以下所講的這些，用現在的眼光，可能是只要用解析幾何就可以證明出來了；但是光用解析，怎麼可能找出這些結果呢？

阿基米德留下許多著作，這裡要介紹的是「引理書」( Achimedes book of lemmas)，

可以參考網頁http://agutie.homestead.com/files/ArchBooLem00.htm

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13題手眼不協調，答案D才對。

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給定一個圓錐曲線，來計算斜率為m的焦弦長度。當然，讓沒有斜率的那條是正焦弦。

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