老王的夢田

圓錐曲線焦弦的性質

先證明一個簡單的梯型性質：

【性質1】

梯形ABCD中，，AD//BC，E在AB上，F在CD上，且EF//AD。若AD＝a，BC＝b，AE：EB＝m：n，試證：
EF＝(na＋mb)/(m＋n)

【證明】

【性質2】

Γ為一個圓錐曲線，F為焦點，PQ為一焦弦，試證：
1/PF＋1/QF為一定值。

【證明】

作出F對應的準線L，並分別過F、P、Q作L的垂線，垂足分別為D、M、N

那麼PF＝ePM，QF＝eQN，FD//PM//QN

由性質一得FD＝(QF×PM＋PF×QN)/(PF＋QF)

FD＝(QF×PF/e＋PF×QF/e)/(PF＋QF)

FD＝2PF×QF/e(PF＋QF)

(PF＋QF)/PF×QF＝2/eFD

1/PF＋1/QF＝2/eFD

因為e和FD都是定值，所以1/PF＋1/QF為一定值。

接著探討這個定值是什麼。

如果Γ是拋物線，e＝1，FD＝2c，1/PF＋1/QF＝1/c。

如果Γ是橢圓，e＝c/a，FD＝d－c＝a²/c－c＝(a²－c²)/c＝b²/c，
1/PF＋1/QF＝2/(b²/a)。

如果Γ是雙曲線，e＝c/a，FD＝c－d＝c－a²/c＝(c²－a²)/c＝b²/c，
1/PF＋1/QF＝2/(b²/a)。

如果正焦弦長是K，在拋物線，K＝4c；在橢圓或是雙曲線，K＝2b²/a；所以不管Γ是哪種曲線，都有1/PF＋1/QF＝4/K

或是這樣考慮，正焦弦也是焦弦之一，所以1/PF＋1/QF＝2/K＋2/K＝4/K。

所以性質2可以改為1/PF＋1/QF＝4/K。(K為正焦弦長)

【性質3】

試證一圓錐曲線中，正焦弦是最小的焦弦。

【證明】

其實這個結果從對稱性就可以猜出來，只是不大能讓人信服。

假設PQ是一焦弦，K為正焦弦長。由性質2，1/PF＋1/QF＝4/K

PF、QF都是正值，由柯西不等式

(PF＋QF)( 1/PF＋1/QF)≧(1＋1)²＝4

PQ×(4/K)≧4 ＝＞ PQ≧K

得證。

【例題1】

設F是拋物線Γ：y²＝8x的焦點，PQ是Γ的一條焦弦，求9PF＋4QF的最小值。

【解】

由性質2，1/PF＋1/QF＝4/8＝1/2

(9PF＋4QF)(1/PF＋1/QF) ≧ (3＋2)²＝25

9PF＋4QF≧50

最小值為50

【學生做】

求出例題1中有最小值時P和Q的座標。

【習題】

將性質2用解析方式證明。