老王的夢田

拋物線切線性質三(互相垂直的切線交點軌跡為準線，兩切點連線過焦點)

給定一個拋物線，我們要證明兩件事：

一、過一焦弦兩端點作切線會互相垂直，且其交點在準線上。

二、過準線上一點作兩切線會互相垂直，且兩切點連線會過焦點。

【證明】

過一焦弦兩端點作切線會互相垂直，這個從光學性質來想就好，平行主軸的光線進來碰到拋物線反射後會通過交點；然後再碰到拋物線反射後又平行主軸出去，等於是轉了一百八十度。相當於碰到兩切線反射，所以這兩線的夾角是九十度。

不過我們還是要證一下啦。

第一部份

＜＜初中競賽教程＞＞第141頁例題7證明了這個命題：

在梯型ABCD中，AD//BC，AD＋BC＝AB，F是CD的中點，則∠A和∠B的平分線都過F。（證明很容易，最好自己做）

現在假設拋物線Γ，焦點為F，準線為L。AB為一焦弦，過A和B作L的垂線，垂足為C和D，E是CD中點。運用上面的命題得到AE和BE分別是∠FAC和∠FBD的平分線，也就是過A和過B的切線，故得到交點在準線上。

又∠AEC＝∠AEF，∠BED＝∠BEF，故∠AEB＝(∠FEC＋∠FED)/2＝90°，

得到兩切線互相垂直。

第二部份

反之，在L上取一點E，過E作兩切線EA和EB，其中A、B是切點；分別過A和B作L的垂線，垂足為C和D，知道C和D就是F關於切線AE和BE的對稱點，且∠AFE＝∠ACE，∠BFE＝∠BDE，

而∠AFE＋∠BFE＝∠ACE＋∠BDE＝180°，所以F在AB上，同時由第一部份知道AE和BE垂直。

此外，這個結果告訴我們，準線就是焦點關於拋物線的極線。

習題：用解析做一遍。