老王的夢田

圓內互相垂直兩弦

圓O內兩弦AB和CD交於E，且AB⊥CD，一些相關的問題。在此我們令半徑為R，E與圓心O的距離為d。

【圓冪性質】

AE×BE＝CE×DE＝R²－d²

這個不需要多說了吧。

【平方和】

<1> AE²＋BE²＋CE²＋DE²＝4R²

<2> AB²＋CD²＝8R²－4d²

證明

<1> 左式＝AC²＋BD²＝2R²－2R²cos∠AOC＋2R²－2R²cos∠BOD

    因為AB⊥CD，所以AC弧＋BD弧＝180°，∠AOC＋∠BOD＝180°

    故AC²＋BD²＝4R²。

<2> 令AB中點為M，CD中點為N，
    AB²＋CD²＝4AM²＋4CN²＝4R²－4OM²＋4R²－4ON²
    ＝8R²－4(OM²＋ON²)＝8R²－4d²

【註】由圓冪性質，以上兩式可以互通：

AB²＋CD²＝AE²＋2AE×BE＋BE²＋CE²＋2CE×DE＋DE²
＝4R²＋4(R²－d²)＝8R²－4d²

有了這些東西，請回答以下問題：

P為圓O內部一點，過P作垂直相交的兩弦AB和CD；假設圓O的半徑為3，OP的距離為1，求下列物件的的最大值與最小值：

1.          AB＋CD

2.          AB×CD