老王的夢田

阿基米德的鞋匠刀(三)

阿基米德引理書第五個命題：

一線上三點A、C、B，分別以AC、CB、AB為直徑向同側作半圓，D在半圓AB上且與AB垂直，在CD的兩側分別作圓與CD相切，與半圓AB內切，且分別與半圓AC、CB外切，則此兩圓相等。

【證明】

先看其中一圓

假設此圓與半圓AB、半圓AC、CD分別切於T、P、E，作直徑EF，那麼EF//AB，由命題一知道TFA、TEB、TPC、APE共線，

延長AFT和CD延長線交於G，連接BG，因為DC垂直AB且BF垂直AD，

故E為三角形ABG的垂心，於是延長AE與BD交於H，AH垂直BD，同時也知道H在半圓AB上。

於是CPF//BHG，那麼EF/AC＝DF/AD＝BC/AB，

即EF＝(AC×CB)/AB

同樣方法可以得到另一圓的直徑也是(AC×CB)/AB，故兩圓相等。

假設半圓AC和圓EF的圓心分別是X和M，那麼GMPX四點共線，由於XP＝XC，所以得到XB＝XG，以及CB＝PG(這是93年嘉義區複賽的題目)。

這樣子我們把BP連起來，那麼三角形BPX和GCX就全等，有∠BPX＝90°

意即BP是兩圓的公切線！！

BP²＝BC×BA＝BD²，所以BP＝BD。