老王的夢田

阿基米德引理書(Archimedes' Book of Lemmas)第六個命題：

(參考網站http://agutie.homestead.com/files/ArchBooLem00.htm)

【命題六】

直線上有A、C、B三點，C在AB之間；分別以AB、AC、BC向直線的同側作半圓，接著再作另外一個圓與半圓AB內切，且與半圓AC、BC皆外切。令此圓直徑為DE，
若 AC/BC ＝ r ，則 DE/AB ＝ r/(r²＋r＋1) 。

要證明這個命題，需要用到引理書的第一個命題：

【命題一】

若兩圓相切於A，而BC和DE是一組平行的直徑，那麼ACE三點共線。

【證明】

令兩圓圓心分別是O與M，那麼AOM共線；

對三角形AOC和AME，∠AOC＝∠AME，且AO＝OC、AM＝ME，

所以這兩個三角形相似，∠OAC＝∠MAE，故ACE共線。

【第六命題的證明】

令T、P、Q分別是此圓和半圓AB、AC、CB的切點，

由命題一知道，ADT、BET、APE、BQD、CPD、CQE皆共線。

假設AT與半圓AC交於F，BT與半圓CB交於G，

連接CF和CG分別與AE和BD交於H和K，

作直線DH和EK與AB交於M和N，

對三角形ACD來說，AP⊥CD、CF⊥AD，故H是垂心，DM⊥AB；

同理EN⊥AB，那麼DM//EN且DE＝MN。

CH//BE，所以AC/CB＝AH/HE＝AM/MN，

又CK//AD，所以AC/CB＝DK/KB＝MN/NB，

AM＝rMN＝r²NB，故DE/AB＝r/(r²＋r＋1) 。

如果繼續做切圓下去，就會得到複變課本裡面的圖形：

可以參考

http://www.amazon.com/Complex-Analysis-Undergraduate-Texts-Mathamatics/dp/0387947566

於是這個圓的半徑，就可以記成公式；也可以整理成這個型式：

進一步繼續看命題六，

因為三角形ADM和EBN相似，所以AM/EN＝DM/BN；

但EN＝DM，所以EN²＝AM×BN＝MN²，故EN＝MN。

這告訴我們，四邊形DMNE是正方形！！

以及所有與三角形ADM相似的直角三角形其兩股的比值皆為r，特別是BAT，

於是AT/TB＝AC/CB，故TC為∠ATB的平分線。

這又告訴我們，四邊形TECG是正方形！！

透過計算，可以發現CN/CM＝r，於是CN＝HM、CM＝KN，

三角形CHM和KCN全等，CH＝CK。(這點用圓冪也可以證出)

如果AE、BD交於L，那麼L是三角形CDE的垂心，作直線TL，會過半圓AB和圓DE的圓心，也就是連心線。

透過計算比例可以知道，F、L、G三點共線，也就是AE、BD、FG、以及連心線這四線共點。

最後，可以由射影幾何的知識得到，若TL交圓DE於另一點X，那麼直線FP和GQ也會通過此點。

總結這篇的東西

1.        
DE/AB ＝ r/(r²＋r＋1) 。

2.        
1/DE＝1/AC＋1/CB－1/AB 。

3.        
DMNE是正方形 。

4.        
TFCG是正方形 。

5.        
所有與三角形BAT相似的直角三角形兩股的比值為r 。

6.        
CH＝CK 。

7.        
AE、BD、FG、TO四線共點 。

8.        
FP、GQ、TO和圓DE共點 。