老王的夢田

已知兩直線L₁和L₂交於C，而A、B分別是L₁和L₂上異於C的點，

試作一拋物線與L₁和L₂分別切於A、B。

第一步

連接AB，取AB中點D，連接CD，則CD和拋物線的對稱軸平行(註一)

第二步

過A作CD的平行線，再作此線關於L₁的對稱直線；
接著過B作CD的平行線，再作此線關於L₂的對稱直線。

分為兩種情況：

（一）兩線交於一點
此點即為拋物線的焦點F(註二)

第三步
在過A平行CD的直線上取AH=AF(註三)
過H作QH的垂線，此線即為拋物線的準線

第四步
有焦點和準線，就可以作出拋物線了

 

（二）兩線重合，皆為AB直線
那麼會L₁和L₂互相垂直，C在準線上(註四)

第三’步
過C作CD的垂線，此線即為拋物線的準線
並與過A平行CD的直線交於H
在AB上取AF=AH，F即為拋物線的焦點

第四步
有焦點和準線，就可以作出拋物線了

註一：用解析法證明如下命題
設A、B為拋物線Γ上兩點，過A、B對Γ所做的切線交於C，AB的中點為D；則CD與Γ的對稱軸平行。

證明：設Γ：y²=4cx
A（ca²，2ca）、B（cb²，2cb）
兩切線為ay=x+ca²，by=x+cb²
交點x=abc，y=c(a+b)，∴C（abc，c(a+b)）
又D（c(a²+b²)/2，c(a+b)）
C和D的y座標相同
直線CD：y=c(a+b)與x軸平行

註二：由光學性質可知

註三：會有兩點滿足AH=AF
取不與F在被L₁和L₂所分割同區域內的點

註四：用解析法證明如下命題
設AB為拋物線Γ的任一焦弦，則
過A、B對Γ所做的切線互相垂直，且其交點在Γ的準線上。

證明：同註一，焦點F（c，0），準線x=－c
A、B、F共線
2ca/(ca²-c)=2cb/(cb²-c)
化簡得ab=－1
兩切線斜率乘積(1/a)(1/b)=－1
故兩切線垂直
交點abc=－c
故在準線上