老王的夢田

【題目】

現有六男四女，要從其中選出五人，而且要求男女各至少兩人，問有多少種選法？

【錯解】

第一步：男女各至少兩人，所以先各挑兩人出來，有C(6，2)×C(4，2)

第二步：再從剩下六人挑一人，有C(6，1)

所以共有15×6×6＝540

好，為什麼說是錯解？

因為在這種算法之下，有些情況重複算到了。

比如說裡面有三個男生：青島一號、商山四號、水餃七號，假設在第一步時選到青島一號和商山四號再加上兩個女生，而第二步時選到水餃七號，此時被選的五人就是：青島一號、商山四號，兩個女生和水餃七號。

另一方面，假設在第一步時選到青島一號和水餃七號再加上兩個女生，而第二步時選到商山四號，此時被選的五人就是：青島一號、水餃七號，兩個女生和商山四號。

上述兩種情況其實只是一種，但是在前面的算法中算了至少兩次，所以多算了，這種算法不正確。

好，那正確的方法是什麼？

可以正面算跟反面算，對於這一題，正面算並不困難。

【正解】

要求男女各至少兩人，共選五人，所以分成三男兩女和兩男三女這兩種情況：

三男兩女：C(6，3)×C(4，2)＝20×6＝120

兩男三女：C(6，2)×C(4，3)＝15×4＝60

所以共有120＋60＝180種