老王的夢田

今天課堂上所提的巴斯卡定理，有關於它的應用，後來我用棋盤方格走捷徑方式來解釋，不知你們是否完全了解並且類推，所以寫下這篇讓你們加深印象。

先看巴斯卡定理：

C(n，m)＝C(n－1，m－1)＋C(n－1，m)

我說要記下上面的式子不靠強記，而是用組合情境去記它。

左邊C(n，m)看成從n個物品挑出m個的方法數；

右邊看成針對某個特定物品來看，分成兩種互斥情況：

選到這個特定物品，就再從剩下的n－1個挑出m－1個，有C(n－1，m－1)種；

沒有選到這個特定物品，就再從剩下的n－1個挑出m個，有C(n－1，m)。

所以得到巴斯卡定理。

如果你問這算不算證明？個人認為由加法原理可以得證，也就是「可以」；但是如果真的考它的證明，還是請用算的。

換句話說，巴斯卡原理是隱藏著加法原理的。

棋盤方格走捷徑的問題也可以用加法原理處理：

如上圖，從A走捷徑到B，共有幾種走法？大家都知道，我們可以用加法原理慢慢算，也可以視為9個「右」和5個「上」的直線排列數，因為每一種直線排列就對應一種走法。

答案就是14！/ 9！× 5！

這個答案就等於C(14，9)＝C(14，5)

這是巧合，別這麼記答案。

再看，從A到E有幾種走法？答案：7！/ 4！× 3！＝C(7，3)

可是我們知道，從A到E可以分成A－C－E和A－D－E，而
A－C－E有6！/ 4！× 2！＝C(6，2)
A－D－E有6！/ 3！× 3！＝C(6，3)
故C(7，3)＝C(6，2)＋C(6，3)

看！這不就是巴斯卡定理嗎！！

【例題】

求 C(4，4)＋C(5，4)＋C(6，4)＋C(7，4)＋C(8，4)＋C(9，4)＋C(10，4)＋C(11，4)＋C(12，4)＋C(13，4)＝？

【解】

如圖，將上面十項視為分別從A走捷徑到A₁、A₂、…、A₁₀的方法數，

然後從A走到B₁的方法數等於A走到A₁的方法數；
從A走到B₂的方法數等於A走到B₁的方法數與A走到A₂的方法數之和；
從A走到B₃的方法數等於A走到B₂的方法數與A走到A₃的方法數之和；
……………………………………………………
從A走到B的方法數等於A走到B₉的方法數與A走到A₁₀的方法數之和。

故其和等於C(14，5)＝2002

習題：

某項比賽方式為甲乙各派五名代表出賽，沒有平手，輸的一方就由下一名選手上陣，直到五名選手全部輸掉，則對方得勝。問共有幾種比賽經過？