老王的夢田

分角線引理

在一線上有A、B；C、D四點，且它們是調合點列，那麼我們知道，線外任取一點V，那麼VA、VB；VC、VD是調合線束。另一方面，如果VC和VD是∠AVB的內角和外角平分線，那麼A、B；C、D是調合點列（VA、VB；VC、VD是調合線束）。想問的是，如果VA、VB；VC、VD是調合線束，那麼VC和VD是否是∠AVB的內角和外角平分線？隨便想想就知道不可能。

那麼要加上什麼條件才會是呢？很明顯，若VC和VD是∠AVB的內角和外角平分線，那麼VC和VD必垂直。

因此，底下要證明這個命題：

若VA、VB；VC、VD是調合線束，且VC和VD垂直；則VC和VD是∠AVB的內角和外角平分線。

【證明】

過C作直線垂直VC，分別交VA和VB於P和Q，
而且此線和VD交於無窮遠點。
因為VA、VB；VC、VD是調合線束，所以P、Q；C、無窮遠點是調合點列，
故C是PQ中點，
那麼VC是三角形VPQ中PQ邊的高同時也是PQ邊的中線，
故VPQ是等腰三角形，VC是頂角平分線，
也就是∠AVB的平分線；

又VC和VD垂直，故知道VD是∠AVB的外角平分線。

命題得證。

個人覺得這個推論經常用到，可是沒有人特別給它個名字，以致於要用時就必須多寫一下或是顯然得證（由上面的證明其實可以知道這個推論對於熟悉射影幾何的人是很顯然的），但是真正出現時，又有許多人不知如何下手，所以把它當成一個引理來看，以後要用到時就可以直接拿來用。且看一個例題：

【例題1】：

三角形ABC，AD⊥BC，G在AD上，BG、CG分別交AC、AB於E、F，
求證∠ADE=∠ADF

【證明】

這個題目出現在西瓦定理的例題中，用分角線引理重新做一遍：

作直線EF，和直線AD、直線BC交於H和K，那麼B、C；D、K是調合點列；

於是AB、AC；AD、AK是調合線束；

F、E；H、K就是調合點列；

DF、DE；DH、DK是調合線束，而且DH⊥DK；

由分角線引理得DH是∠FDE的平分線，也就是∠ADE=∠ADF。

再做一個例題：

【例題2】

在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，在CD上取一點E，BE與AC交於F，延長AF交BC於G；
證明∠FAG＝∠FAE                         （1999年大陸高中數學聯賽）

【證明】

過A作AC的垂線，交BD延長線於H；

設BD與AC交於K，那麼B、D；K、H是調合點列；

又BE、CK、DG三線交於F，所以EG的延長線過H；

CB、CD；CK、CH是調合線束；

若GE交CK於M，那麼G、E；M、H是調合點列；

於是AG、AE；AM、AH是調合線束，且AM⊥AH；

由分角線引理得證。

瞭解怎麼用之後，下面這題就不會陷入一堆比例式之中了。

【例題3】

設H是銳角三角形ABC的高線上的任一點，直線AH、BH分別交BC、AC於M和N；再設O是MN和CP的交點，一條通過O的任意直線交四邊形CNHM於D、E兩點。

證明：∠EPC＝∠DPC。                  （2003年保加利亞數學奧林匹克）

【證明】

假設直線MN和DE分別與AB的延長線交於F和K；

那麼N、M；O、F是調合點列；

AN、AM；AO、AF是調合線束；

D、E；O、K是調合點列；

PD、PE；PO、PK是調合線束；

又PO⊥PK，由分角線引理得證。