圓錐曲線的直徑
沒錯,圓錐曲線也有直徑,與焦半徑沒啥關係,而且這是個經常在參考書中出現的題目(不過我也不知道出參考書的人是否知道這叫直徑),課本卻都沒有說。
圓有直徑,這你早就知道,而且知道直徑是通過圓心的弦。那能否類推到其他的錐線呢?想想看,其他錐線有「圓心」嗎?沒有。但是橢圓和雙曲線有對稱中心,是否能代替圓心呢?接下來會說明。但至少拋物線沒有「心」,所以我們要給出一種適合所有錐線的定義,當然這個定義也包含圓的直徑。
圓的直徑有另外一種性質,就是過直徑上任一點作此直徑的垂弦,中點必為此點。而這些弦彼此平行,於是就定義如下:
【定義】圓錐曲線的直徑
在給定圓錐曲線上,一組平行的弦,他們的中點會在一直線上,稱這些中點的集合為此圓錐曲線的直徑。
【拋物線的直徑】
給定拋物線y2=4cx,所有斜率為m的弦,其中點在一條平行於對稱軸的直線上。
【證明】
假設弦所在的直線方程式為y=mx+k(注意到現在的參數是k)
也就是x=(y-k)/m
代入拋物線方程式得到
y2=4c(y-k)/m
y2-( 4c /m)y+4ck/m=0
若此方程式的兩個解為y1、y2,就是此弦兩端點的y座標,那麼中點的y座標就是(y1+y2)/2。
由根與係數關係知道y1+y2=4c/m,與k無關,所以這是一個定值;
換句話說這些中點的y座標都是2c/m,也就是都在y=2c/m上
故這些中點在一條平行於對稱軸的直線上。
我們就稱這些中點集合為「拋物線的直徑」,在拋物線會是一條射線,它會平行於對稱軸,特別地,對稱軸本身也是一條直徑。
【橢圓的直徑】
給定橢圓x2/a2+y2/b2=1,所有斜率為m的弦,其中點在一條通過中心的直線上。
【證明】
假設弦所在的直線方程式為y=mx+k(注意到現在的參數是k)
代入橢圓方程式得
x2/a2+(m2x2+2mkx+k2)/b2=1
b2x2+a2m2x2+2a2mkx+a2k2-a2b2=0
若此方程式的兩個解為x1、x2,就是此弦兩端點的x座標,那麼中點的x座標就是(x1+x2)/2。
由根與係數關係知道x1+x2=-2a2mk/( b2+a2m2)
中點的x座標就是x=-a2mk/( b2+a2m2)
這個中點也在直線y=mx+k上,以k=y-mx代入
( b2+a2m2)x=-a2m(y-mx)
b2x=-a2my
y=(-b2/ma2)x
這就是這些中點所要滿足的方程式,故知此為直線,通過(0,0)。
我們就稱這些中點集合為「橢圓的直徑」,在橢圓是一個線段,它會通過中心(因為中心必為過中心的弦的中點),特別地,長軸與短軸也是直徑。
【共軛直徑】
假設d為橢圓x2/a2+y2/b2=1的一條直徑,那麼與d平行的弦中點也會構成一條直徑d’,稱為d的「共軛直徑」;當然,d也是d’的共軛直徑。特別地,長軸和短軸是一組共軛直徑。
若d的斜率為m,那麼d’的斜率為何?從前面的證明中知道,d’的斜率為
(-b2/ma2);也可以將(-b2/ma2)代入就會得到m。這說明了互為共軛的兩直徑,其斜率乘積為(-b2/a2)。
【雙曲線的直徑】
給定雙曲線x2/a2-y2/b2=1,所有斜率為m的弦,其中點在一條通過中心的直線上。
【證明】
假設弦所在的直線方程式為y=mx+k(注意到現在的參數是k)
代入雙曲線方程式得
x2/a2-(m2x2+2mkx+k2)/b2=1
b2x2-a2m2x2-2a2mkx-a2k2-a2b2=0
若此方程式的兩個解為x1、x2,就是此弦兩端點的x座標,那麼中點的x座標就是(x1+x2)/2。
由根與係數關係知道x1+x2=2a2mk/( b2-a2m2)
中點的x座標就是x=a2mk/( b2-a2m2)
這個中點也在直線y=mx+k上,以k=y-mx代入
( b2-a2m2)x=a2m(y-mx)
b2x=a2my
y=(b2/ma2)x
這就是這些中點所要滿足的方程式,故知此為直線,通過(0,0)。
我們就稱這些中點集合為「雙曲線的直徑」,在雙曲線是一條直線或是兩射線,它會通過中心(因為中心必為過中心的弦的中點),特別地,貫軸與共軛軸也是直徑。
如同橢圓,雙曲線也有共軛直徑。
直徑與錐線的交點稱為此直徑的「端點」,根據直徑的定義,以及簡單的推論,過端點作那些平行弦的平行線為此錐線過端點的切線。(請完成證明)。
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