老王的夢田

【性質】

若A、B是拋物線上兩點，過A和B的切線交於C，令A和B在準線上的投影點為G和H，
則ΔAGC和ΔCHB相似。

【證明】

令焦點為F，連接FA、FB和FC

我們已經知道ΔACG和ΔACF全等，以及ΔBCH和ΔBCF全等

由圖中可以知道α＋β＋γ＝90°

又∠AGH＝90°，所以α＋γ＋x＝90°

故β＝x，即∠BCH＝∠CAG

又∠AGC＝∠CHB，故ΔAGC和ΔCHB相似

由上述結果可以知道，AG×BH＝CG×CH＝AF×BF；

又∠AFB＝∠ACB＋∠FAC＋∠FBC＝2∠ACB＝∠GCH

於是我們證明了(AFB)＝(CGH)

接著就可以證明底下這個性質：

【性質】

A、B、C為拋物線上三點，過此三點的切線 兩兩 交於X、Y、Z，

則(ABC)＝2(XYZ)

【證明】

令A、B、C在準線上的投影點分別是D、E、G，

由前面的證明知道(ABF)＝(XDE)、(ACF)＝(YDG)、(BCF)＝(ZGE)

那麼(ABC)＝(ABF)＋(BCF)＋(ACF)＝(XDYGZE)

又(XYZ)＝(XYF)＋(YZF)－(XZF)

2(XYZ)＝2(XYF)＋2(YZF)－2(XZF)

＝(XYF)＋(XYD)＋(YZF)＋(YZG)－(XZF)－(XZE)

＝(XDYF)＋(YGZF)－(XEZF)

＝(XDYGZE)＝(ABC)

PS:最後一個性質，發現出現於民國74年大學聯考自然組數學裡面，有興趣知道的可以參考

http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d93/9319.pdf