老王的夢田

光學性質的幾何證明

【拋物線的光學性質】

給定Γ為一拋物線，其焦點F、準線D、對稱軸為L；

光學性質：從F出發的光線碰到拋物線上一點P，反射線會平行L；反之，平行L的光線碰到拋物線上一點P，反射線會通過F。

【證明】（只證明＝＞）

過P作D的垂線令垂足為A，直線PA就是反射線所在直線，那麼光學性質就是過P的切線為∠FPA的角平分線。（也就是證明這件事情就好）

由於P的切線唯一，∠FPA的角平分線也唯一，所以只要證明∠FPA的角平分線為過P的切線就可以了。（注意，在此使用「同一法」）

令M表∠FPA的角平分線，

由拋物線定義PA＝PF

取M上異於P的點Q

PQ＝PQ

∠FPQ＝∠APQ

所以△FPQ全等於△APQ

QA＝QF

而Q到準線D的距離QB小於QA

所以Q不在拋物線上，也就是M與Γ只有一個交點(就是P)，

故M為過P的切線

推論：焦點F關於任意切線的對稱點一定在準線D上，並且是該切線的切點在準線上的投影點。

【橢圓的光學性質】

給定Γ為一橢圓，其兩焦點為F、F’；

光學性質：從F出發的光線碰到橢圓上一點P反射線會通過F’，反之亦然。

【證明】

此性質等價於過P的切線為∠FPF’的外角平分線

由於過P的切線唯一，∠FPF’的外角平分線也唯一，故只要證明∠FPF’的外角平分線為過P的切線就好。

令L表∠FPF’的外角平分線

F對L的對稱點R會在直線PF’上

F’R＝F’P＋PR＝F’P＋PF＝2a

取L上異於P的點Q

F’Q＋QF=F’Q＋QR＞F’R＝2a

故Q不在橢圓上，也就是L與Γ只有一個交點(就是P)，

L為過P的切線。

推論：橢圓一焦點F關於任意切線的對稱點在以另一焦點F’為圓心，2a為半徑的圓上。

【雙曲線的光學性質】

給定Γ為一雙曲線，其兩焦點為F、F’；

光學性質：從F出發的光線碰到雙曲線上一點P反射線的延長線會通過F’，反之亦然。

【證明】

留做習題。

推論：雙曲線一焦點F關於任意切線的對稱點在以另一焦點F’為圓心，2a為半徑的圓上。