老王的夢田

96指考數乙非選第一題的進一步探討

若題目改成：

某別墅有一個正方形的玻璃窗戶，窗外路燈的光線(假設路燈是一個點光源)透過窗戶在地板上形成一個四邊形光影。建置一個空間直角坐標系，發現光影外框的四個頂點的坐標分別為(－4,40,0)，(16,0,0)，(16,40,0)和(28,16,0)。求光源的坐標。

先畫一個簡圖：

那麼光源位置，牆壁位置，正方形窗戶的邊長都不知道，雖然可以假設未知數去列關係式，但是未知數的數目必然很多，光是用想的就覺得不容易做。

我們知道若將牆壁平形移動，窗戶的影子和原來的窗戶是相似形。於是考慮一個特殊位置，將牆壁移動到通過兩個頂點，就是假想這扇窗戶是落地窗！如圖：

假設A(－4,40,0)，B(16,0,0)，C(28,16,0) 和D (16,40,0)，

CDEF是窗戶，先計算出CD＝12√5，

於是E(16,40, 12√5)以及F(28,16, 12√5)

直線AE的方程式為

x＝－4＋5t，y＝40，z＝(3√5)t

直線BF的方程式為

x＝16＋3s，y＝4s，z＝(3√5)s

兩線求出交點為(46,40,30√5)，這就是光源的位置。

如果能夠得到光源的位置，那麼回頭看那題指考題：

CDEF的中心位置坐標為(22,28,6√5)

投射線為x＝46＋2k，y＝40＋k，z＝30√5＋(2√5)k

與xy平面的交點為(16,25,0)

所以答案為(16,25)

很想知道那年有沒有人這樣做，但是從大考中心的研究報告中看不出來，而且實際上能這樣想的，可能直接就想出求對角線交點吧。

真要求光源位置，我會這樣做：

CF和DE平行，所以P關於xy平面的投影點就是AD和BC的交點。如圖

計算H的座標為(46,40,0)

再由PH：DE＝AH：AD求得PH＝30√5

故光源位置為(46,40,30√5)