96指考數乙非選第一題的進一步探討


 


若題目改成:


某別墅有一個正方形的玻璃窗戶,窗外路燈的光線(假設路燈是一個點光源)透過窗戶在地板上形成一個四邊形光影。建置一個空間直角坐標系,發現光影外框的四個頂點的坐標分別為(4,40,0)(16,0,0)(16,40,0)(28,16,0)。求光源的坐標。


 


先畫一個簡圖:


 



 


 


那麼光源位置,牆壁位置,正方形窗戶的邊長都不知道,雖然可以假設未知數去列關係式,但是未知數的數目必然很多,光是用想的就覺得不容易做。


我們知道若將牆壁平形移動,窗戶的影子和原來的窗戶是相似形。於是考慮一個特殊位置,將牆壁移動到通過兩個頂點,就是假想這扇窗戶是落地窗!如圖:


 



 


假設A(4,40,0)B(16,0,0)C(28,16,0) D (16,40,0)


CDEF是窗戶,先計算出CD125


於是E(16,40, 12√5)以及F(28,16, 125)


直線AE的方程式為


x=-45ty40z(35)t


直線BF的方程式為


x163sy4sz(35)s


兩線求出交點為(46,40,305),這就是光源的位置。


 


如果能夠得到光源的位置,那麼回頭看那題指考題:


CDEF的中心位置坐標為(22,28,65)


投射線為x462ky40kz305(25)k


xy平面的交點為(16,25,0)


所以答案為(16,25)


 


很想知道那年有沒有人這樣做,但是從大考中心的研究報告中看不出來,而且實際上能這樣想的,可能直接就想出求對角線交點吧。


 


 


真要求光源位置,我會這樣做:


CFDE平行,所以P關於xy平面的投影點就是ADBC的交點。如圖


 



 


 


計算H的座標為(46,40,0)


再由PHDEAHAD求得PH305


故光源位置為(46,40,305)


 


 


 

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