老王的夢田

高斯線定理(牛頓線定理)

定理

完全四邊形的三條對角線中點共線，此線稱為高斯線或是牛頓線。

其實是同一條線，但是用了兩個大數學家的名字來命名!!網路上查到的資料是說，在德國和俄國稱為高斯線，在英國稱為牛頓線，(顯然這是個小事件，所以沒有列入數學恩仇錄)。不過在Mathworld裡面提到說牛頓證明了跟這個完全四邊形的四邊相切的圓錐曲線，它的中心都在這條線上。個人以為，由此觀之，應該把榮耀給牛頓才是。

給圖

證明

法一

分別取AE、ED、DA的中點P、Q、R，

連接PR會過點X，且PR//ED，

故PX/XR=EC/CD

同理，RY/YQ=AB/BE，QZ/ZP=DF/FA。

對三角形AED以BCF為截線使用孟氏定理

(AB/BE)(EC/CD)(DF/FA)=1

=>
(RY/YQ)(PX/XR)(QZ/ZP)=1

(PX/XR)(RY/YQ)(QZ/ZP)=1

由孟氏定理的逆定理知道X、Y、Z共線。

法二

幾何原本I.43說明了一個平行四邊形，從對角線上一點作兩邊平行線，所得不包含此對角線的兩個小平行四邊形，它們的面積相等。

這個命題反過來說也正確，意即如果從平行四邊形內部一點作兩邊平行線，所得到一組沒有共邊的小平行四邊形面積相等，則此點在沒有通過這兩個小平行四邊形的對角線上。

如圖，過B、C、D、E、F分別作AE和AF的平行線，由上述命題可知

在平行四邊形AEQD中，(AC)=(CQ)

在平行四邊形ABPF中，(AC)=(CP)

所以(CQ)=(CP)

共同扣掉(CG)就有(GL)=(GJ)

故G在平行四邊形CLHJ的對角線CH上，也就是C、G、H共線

那麼AC、AG、AH的中點也會共線

但AG中點就是BD中點Y，AH中點就是EF中點Z

故X、Y、Z共線。

法三

一個競賽常出現的幾何證明題

四邊形ABCD，若AB和CD的延長線交於E，X和Y分別是AC和BD的中點，則

(EXY)=(ABCD)/4

同理(FXY)=(ABCD)/4

(EXY)=(FXY)

那麼XY就會通過EF的中點

故X、Y、Z共線

法四

上面三個證法都是書上有的，最近一直想著阿波羅尼斯圓，就自己想到這個方法了，不過查查資料，這應該是高斯做過的事情吧。

以X為圓心，XA為半徑作圓，這是滿足PM/PN=AM/AN的阿波羅尼斯圓；

以Y為圓心，YB為半徑作圓，這是滿足PM/PK=BM/BK的阿波羅尼斯圓；

以Z為圓心，ZE為半徑作圓，這是滿足PN/PK=EN/EK的阿波羅尼斯圓；

假設圓X和圓Y交於P、Q兩點，那麼PM/PN=AM/AN，PM/PK=BM/BK，

對三角形MNK以ABE為截線使用孟氏定理，(MA/AN)(NE/EK)(KB/BM)=1

(PM/PN)(NE/EK)(PK/PM)=1

PN/PK=EN/EK

P在圓Z上

同理Q在圓Z上

於是XY、XZ都跟PQ垂直

故X、Y、Z共線