在圓上有三點ABC,那麼我們把兩弦ACCB和稱為一組「折弦」。





那麼以下的定理稱為「阿基米得折弦定理」:





在圓上由ACCB所組成的一組折弦,若ACCB,且假設D是弧ACB的中點,那麼DAC上的投影點E,會有AECEBC(E是折弦ACB的中點)





 





初見此題,想了許久;後來從基本方向思考,就順利解出來,所以這個問題我會歸類為基本解法的練習題。





哪種基本解法呢?就是欲證一線段是另外兩線段之和,基本作法就是將兩線段合併為另一線段,或是將一線段拆成兩線段。






























【證法一之一】




延長AC,並取CFCB,連接DF




DCFDACADC(ABCD)/2




(DAB)/2BCD




所以ΔBCD@ΔFCD(SAS)




DFDBDA




DEAF,所以




AEECCFECCB




 













【證法一之二】





延長BC,並取CFCE,連接DF





DCFDABDBADCE





ΔDCE@ΔDCF(SAS)





F90°DEA





就有ΔDAE@DBF(AAS)






AEBFBCCFECCB





 













【證法二】





AE上取AFBC,連接DF





那麼ΔADF@BDC(SAS)





所以DFDC





DECF,所以FEEC





AEAFFEECCB





 













前一陣子在網路上亂逛的時候,看到有人的部落格裡PO了一個問題,看了一下,就是此定裡的應用。格主也PO了兩種作法,我覺得滿好的,就收錄起來一齊欣賞。




幾何問題01



























【證法三】





DAC的平行線與圓交於F





那麼DC弧=AF弧;





接著由FAC的垂線,垂足為G





因為DCAF,所以ECAG





DF弧=BC弧,所以BCDFGE





AEAGGEECCB





 






















 



















































【證法四】





延長DE交圓於F,連接AF





直線FBAC延長線交於G





因為FEACAFDBFD

所以ΔAFG為等腰三角形,

AE
EG,且AG

GBCAGGCCB

AEECCGECCB





 









 








這兩個證法其實也是基本方法,證法三分成兩段、證法四將兩段結合,只是作法上的本質是不同的。在證法一和二,我都是先做出相等的兩段再去證明;而三和四都是先做好,再去證明相等。我覺得這必須要有獨特的慧眼才行!!





 




參考資料


http://tw.myblog.yahoo.com/percussion-armyband/article?mid=93&sc=1#2511


 









 






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  • Lynux
  • 是的, 我目前的本行是在做凝聚態物理的數值計算, 但仍對於科學教育有著高度的熱忱. <br>
    [版主回覆05/30/2012 19:06:50]真是厲害啊!!!!!!!
  • Lynux
  • 當初我遇到這題目的時候, 本就不知道這定理, 而是已知長度CB和CE, 求長度AE的問題, 所以我給出的兩個証法才和一般證明題的證明邏輯不同. 現在看到您另外給出的兩個證明方法, 那是已知AE=BC+CE的前提之下來證明此問題. 您不會覺得相當的有趣? 有時候把證明題的問題改成一般求長度或角度的問題, 這樣學生會找出截然不同的證明方法. PS: 看了你的Blog後覺得您是位幾何狂人. <img src="http://l.yimg.com/f/i/tw/blog/smiley/1.gif"/><br>
    [版主回覆05/28/2012 21:27:44]<p>的確,知道結論比不知道結論要容易得多;所以非常佩服前人,能夠從未知的情況下找到結論。</p>
    <p>"狂人"不敢,只是個"幾何迷"罷了。也歡迎一起討論,不過您現在應該沒有從事相關工作吧。</p>