老王的夢田

問題的意思是已知一個角的兩邊，但是頂點部份消失了（或是不可進入），要求作此角的平分線。

【已知】線段AB與CD

【求作】在不延長AB和CD的條件下作直線AB和CD的角平分線

【作法一】

1.        在AB上任取一點E以及CD上任取一點F

2.        作∠AEF和∠CFE的平分線，設兩線交於G

3.        作∠BEF和∠DFE的平分線，設兩線交於H

4.        連接GH即為所求

【證明】

若延長AB與CD交於P，則G與H分別為內心與傍心

故PGH為角平分線。

【作法二】

1.        在AB上適當選取一點E

2.        過E作CD的平行線EF

3.        作∠BEF的平分線EG

4.        過E作EG的垂線交CD於K

5.        作EK中點L

6.        過L作EK的垂直線即為所求

【證明】

∵EG平分∠BEF且EK⊥EG

∴∠AEK＝∠FEK

又EF//CD

∴∠CKE＝∠FEK＝∠AEK

所以若延長AB與CD交於P，△PEK為等腰三角形

底邊的中垂線為頂角平分線

【作法三】

1.        在AB上適當選取一點E

2.        過E作CD的垂線交CD於M

3.        過E作AB的垂線交CD於N

4.        作∠MEN的平分線交CD於K

5.        作EK中點L

6.        過L作EK的垂直線即為所求

【證明】

∠CKE＝90°－∠MEK＝90°－∠NEK＝∠AEK

所以若延長AB與CD交於P，△PEK為等腰三角形

底邊的中垂線為頂角平分線

應該也還有別的作法，歡迎分享！