老王的夢田

點對圓的極線

延續前一篇所講的東西，要證明下面這個命題：

A、B關於圓O對稱，A在圓O外部，EF是過B且垂直AB的弦；過A做一直線，和圓交於M、N兩點，和EF交於K，則A、K；M、N是調合點列。

【證明】

以AK為直徑作圓P，以MN為直徑作圓Q；

AB⊥BK，所以B在圓P上；

圓P通過關於圓O的一組對稱點A、B，故圓P與圓O正交；

又圓O與圓Q的根軸為直線MN，且P在直線MN上，圓P又與圓O正交，故圓P與圓Q也正交；

於是A與K是關於圓Q的對稱點，由上一篇知道，A、K；M、N是調合點列。

證明中要用到的理論參考兩圓夾角與正交圓

如果是過B作一直線，又會如何？

在上一篇的證明中知道，A與B的位置互換，仍有相同的結果；那麼過B作直線，必然會與圓O有兩個交點M、N，現在要考慮的是和M、N；B組成調和點列的第四個點，它的軌跡是如何？底下要證明，這個軌跡是過A且垂直AB的直線。

先證明前一篇的逆命題：

若A、B；C、D是調合點列，則A、B關於以CD為直徑的圓對稱。

【證明】

以CD為直徑作圓O，過B作AB的垂直線與圓O交於E、F；

因為A、B；C、D是調合點列，所以EA、EB；EC、ED是調合線束，而且EC⊥ED，由分角線引理知EC、ED是∠AEB的內、外角平分線；

∠AEC＝∠CEB＝∠EDC，故AE為圓O的切線，∠OEA＝90°；

由子母相似性質知OA×OB＝OE²；

故A、B關於圓O對稱。

【另證】

可以直接計算如下：若O為CD的中點，因為A、B；C、D是調合點列，有

AC/CB＝AD/DB；

AC＝OA－OC；AD＝OA＋OD；BC＝OC－OB；BD＝OD＋OB；並且OC＝OD＝R

(OA－R)/(R－OB)＝(OA＋R)/(R＋OB)

OA×R＋OA×OB－R²－OB×R＝OA×R－OA×OB＋R²－OB×R

OA×OB＝R²

故A、B關於圓O對稱。

NOTE：本命題在某些書上會寫成：
若A、B；C、D是調合點列，M是CD中點，則MA×MB＝MC²

接著證明：

A、B關於圓O對稱，B在圓O內部，過B做一直線，和圓交於M、N兩點，若點K在直線上，且M、N；B、K是調合點列，那麼K的軌跡是過A且垂直AB的直線。

【證明】

以BK為直徑作圓P，以MN為直徑作圓Q；

由上面的命題知B與K關於圓Q對稱；

圓P與圓Q正交；

P在圓Q和圓O的根軸上；

圓P與圓O正交；

A在圓P上；

KA⊥AB，故K在過A且垂直AB的直線上。

另一方面，在過A且垂直AB的直線上任取一點K，連接KB與圓O交於M、N；

作以BK為直徑的圓P，會過A，所以圓P與圓O正交；

作以MN為直徑的圓Q，P在圓O和圓Q的根軸上，圓P與圓Q正交；

K與B關於圓Q對稱，故M、N；B、K是調合點列。

至此我們證明了K的軌跡是過A且垂直AB的直線，我們給這條線一個名字。

定義：

A、B關於圓O對稱，稱
過B垂直AB的直線為A關於圓O的極線，A為此線的極點；
過A垂直AB的直線為B關於圓O的極線，B為此線的極點。

如果你的補習班講義上面沒有「極線」的定義而只有「極線」這個名詞，表示這個補 習班 老師不知道這個定義，只知道有這個名詞，那麼這份講義也可以扔了。