老王的夢田

題目：

一圓位於x軸上方，且與雙曲線x²/16－y²/9＝1相切，又圓心與雙曲線兩焦點恰好成為一個正三角形，求此圓的半徑為多少？

參考解答居然用假設圓的方程式之後，與雙曲線聯立，消去x後，得到的y的二次方程式的判別式為0去解，真是謬之大矣！！

如果題目改為以原點為圓心，與雙曲線相切的方程式為何？照參考解答的作法：
設圓方程式為x²＋y²＝r²，然後你會代哪一個？是x²＝r²－y²還是y²＝r²－x²？
一般來說，選後者的比較多吧！於是9x²－16r²+16x²＝144，
也就是25x²－(16r²+144)＝0，判別式等於0，得到16r²+144＝0，無解！！

也許有人會說選擇前者代入就可以解出來了，但是要知道，如果這種作法是正確的，那麼不論代哪一種都應該解的出來，頂多就是簡單與麻煩之分；如果只能代入特定的狀況，表示這種解法有問題。

回到問題的原點，好，誰能告訴我，圓與雙曲線相切是怎麼回事？？
以及高中教材裡面，在哪個章節有提到這件事？？

很多人對第一個問題的答案是，這麼簡單，就交於一點啊！！可是題目裡面，這個圓和雙曲線交於兩個點。

從比較簡單的情形出發，兩圓若不重合，最多只有兩個交點(為什麼？)那麼可以說兩圓相切就是兩圓僅交於一點。可是從這個觀點，我們無法推廣到其他的圓錐曲線，原因是其他的圓錐曲線，如不重合，最多可以有四個交點，我們都可以造出交於一、二、三個交點而相切的狀況。而題目的狀況是有兩組分別重合，才使得這問題可以用判別式的方法做出。

那要如何才能判定兩個圓錐曲線相切？甚至對於一般的曲線都適用呢？兩圓相切的另一個特徵是過切點可以做出一條公切線。以此觀點，我們可以定兩曲線若在某一點相切，那麼過此點對兩曲線所作的切線是同一條。這樣我們就可以來判定兩圓錐曲線是否在交點相切，也才可以來解一開始的問題：

令切點為(p,q)，過此點對雙曲線的切線為(p/16)x－(q/9)y＝1，再利用圓的特性，
(p,q－5√3)//(p/16,－q/9)，得到q=(9√3)/5，進一步得p²＝832/25 ，
於是r²＝p²＋(q－5√3)²＝832/25＋768/25＝64，所以r＝8。

這個答案，實在不得不讓人聯想到這是這個雙曲線的貫軸長，所以用解析方式對一般的雙曲線x²/a²－y²/b²＝1重作了一次(請自己做)，發現果然是正確的！！

於是去思考幾何的解釋，雖然想了出來，但是覺得一點都不直觀，真不知這個題目是從哪裡挖出來的？那麼請回答我，第二個問題，高中教材裡面，在哪個章節有提到這件事？沒有，就是沒有，即使是微積分，也沒提到。所以，當成學測的模擬題目，適當嗎？？不是很莫名其妙嗎？？如果是指考題就算了，因為歷來指考亂考的題目已經很多了。

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