老王的夢田

為什麼要討論這個主題？也就是當你了解之後可以做些什麼？首先是它其實是二元一次不等式的問題，這當然直接影響線性規劃的結果，不過目前最主要的應用，還是用在點到直線距離公式。

怎麼用？為什麼要用？君不見分子有個絕對值？沒錯，就是要去掉絕對值。如果我們可以事先判斷絕對值裡面的正負號，那就可以把絕對值拿掉了。所以接下來的問題就是如何判斷。

一條直線把平面分成三部份，別抗議，直線上也算一部份。如果要來描述，我們現在都用代數方式；直線方程式有個等號，那很自然就跟三一律做連結。直線上是等於，那另外兩半就是大於以及小於。這樣想起來很完美，但問題是其他的點會那麼乖的讓你安排到大於或是小於的部分嗎？而且是否同一邊的就是同號呢？還好答案是肯定的，只要我們做適當的安排就好。

考慮函數 f(x,y)＝ax+by+c，當x與y做連續性的變化時，函數值也會做連續性的變化，(這部分應該很直觀)，而我們知道f(x,y)＝0的圖形是一直線，那麼對於在此直線同一邊的兩個點P和Q，可以找到一條路徑連結P和Q而不會跟直線有交點，如果f(P)和f(Q)不同號，那麼這個路徑上必有一點R使得f(R)＝0(還記得勘根定理嗎？)，這造成矛盾，因此在直線同一邊的點函數值會同號。

接下來的問題是哪邊大於零哪邊小於零。實際做問題，代個不在線上的特定點(例如原點)就可以判斷了；可是能不能用看的呢？答案是可以，不過要先了解一件事：x+y+1＝0和–x–y–1＝0代表同一條直線，這造成將原點代入前式為正、代入後式為負。為解決這個問題，我們必須做個約定，通常是約定x項的係數為正(水平線可以一眼看穿吧，以下就不討論了)，就會只有一種結果了。

若函數f(x,y)＝ax+by+c、a＞0，而f(x,y)＝0的圖形為直線L，那麼平面除了L之外被切成兩半，一半在L的右邊、另一半在左邊，記住，我們約定x項的係數為正，就看左右就好，別理會上下。若P點在L的右邊，則f(P)＞0；若P在L的左邊，則f(P)＜0。證明：

設P(u,v)，過P作與x軸平行的直線，此直線方程式為y＝v，並設它與L交於Q(w,v)，則aw+bv+c＝0，

若P在Q的右邊＝＞ u＞w ＝＞ au+bv+c＞aw+bv+c＝0 ＝＞ f(P)＞0

若P在Q的左邊＝＞ u＜w ＝＞ au+bv+c＜aw+bv+c＝0 ＝＞ f(P)＜0

這就是我們的結論。

換一個方式來看，若L的方程式為ax+by+c＝0，那麼L的法向量為＝(a,b)。

當我們約定a＞0時，的x分量就一定是向右，有兩種狀況，畫個圖來看看：

在L上取一點Q(x₀,y₀)，會有ax₀+by₀+c＝0，

而在L的右邊的點P(u,v)，那麼和法向量的夾角會小於90度，

所以．＞0

(u－x₀,v－y₀)．(a,b)＞0

au－ax₀+bv－by₀＞0

au+bv－(ax₀+by₀)＞0

au+bv+c＞0