老王的夢田

以前提過的問題：
給定一條直線L和同側兩點A和B，求L上一點P，使得PA＋PB最小。

相信大家都會做，只要找到A關於L的對稱點，再和B連起來，跟L的交點就是答案。

我們現在改成在空間中給定一個平面E和同側兩點A和B，在E上求一點P使得PA＋PB最小，該如何呢？

答案也是找到A關於E的對稱點，再和B連起來，跟E的交點。

只要找到過A和B且與E垂直的平面，那麼此問題就和原來一樣了。

再來，把問題改為在空間中給定一條直線L和兩點A和B，求L上一點P，使得PA＋PB最小。這樣又該如何？答案會是找到A關於L的對稱點，再和B連起來，跟L的交點嗎？顯然不是，因為這條線跟L不一定有交點。

也就是我們必須另外想辦法。

事實上L和A可以構成一個平面，L和B也可以構成一個平面，但是這兩個平面不見得是同一個。想像一下，如果你手上有一個資料夾，它的軸是L，而A和B分別在左右兩頁面上。當你把資料夾合起來，不就是最原始的情況嗎？而解決方案，可以當成把資料夾完全打開。用這個想法，就可以解決最新的問題。

【例題】

若空間中兩點A(2,3,4)與B(8,－7,24)，在x軸上找一點P，使得PA＋PB最小，求最小值與此時P的座標。

解：

＜法一＞設P的座標為(x,0,0)

PA＋PB＝√[(x－2)²＋9＋16]＋√[(x－8)²＋49＋576]

＝√[(x－2)²＋25]＋√[(x－8)²＋625]

就可以看成在平面上C(2,5)以及D(8,25)或是D(8,－25)，然後在x軸上找一點

就變成原來的問題。

＜法二＞用上面把資料夾打開的想法

那麼A在x軸上的投影點K為(2,0,0)，B在x軸上的投影點H為(8,0,0)

AK＝5、BH＝25

AP：BP＝AK：BH＝KP：HP＝5：25＝1：5

所以P的座標為(5/6)(2,0,0)＋(1/6)(8,0,0)＝(3,0,0)

此時PA＋PB＝6PA＝6√26