老王的夢田

當我們給定四個邊長，而這四個邊長可以圍成四邊形，那麼我們知道，這樣的四邊形並不固定；如果再加上要求為圓內接四邊形這個條件，就來探討這樣的四邊形是否存在以及符合條件的有幾個。

假設圓內接四邊形ABCD，AB=a、BC=b、CD=c、DA=d，那麼∠ABC+∠ADC=180°，

也就是∠ADC與∠ABC的外角相等。於是可以延長AB到E，使得△CBE和△CDA相似，

並令BE=e，就有c
: d=b : e，用第四比例項作圖可以作出e來。

同時有CA
: CE=c : b，由阿波羅尼斯圓定理知道，C點在到A和E的距離比為c
: b的圓上；以及CB=b，就可以定出C點，剩下D點就很容易了。

作圖如下

1. 作一直線，在上面取AB=a

   
   

2. 在BA的反射線上取BE=e，並使得c
   : d=b : e

   
   

3. 在AE直線上找出滿足FA
   : FE=c : b、GA
   : GE=c : b的內分點F和外分點G

   
   

4. 以FG為直徑作一圓

   
   

5. 以B為圓心，b為半徑作圓，兩圓交於C(取其中一點即可)

   
   

6. 分別以A、D為圓心，d、c為半徑作圓，兩圓交於D(取與B在AC異側之點)

   
   

7. 四邊形ABCD即為所求

   
   

完成圖

假設此圓圓心為O，考慮扇形OBC和扇形OCD，我們可以把它們剪下來交換位置，依然能夠拼成原來的圓形，但是此時四邊形變成ACBD，也就是四邊長順序改為acbd，同樣滿足條件。所以若是四邊不等長，那麼考慮環狀排列，就有6種；如果又考慮可以翻轉，就會只有3種。