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如圖




A、B、C、D、E、F都在以O為圓心的圓上，且△OAB、△OCD、△OEF都是正三角形；X、Y、Z分別是BC、DE、FA的中點。試證△XYZ為正三角形。


 


 


 


 


 


 


 


 


這題是最近解決的問題


看完題目



看到正三角形


會想用複數處理


令A、B、C、D、E、F所代表的複數分別為a、aw、b、bw、c、cw


其中w是cos60° + i sin60°，有 w2-w+1=0


於是令X、Y、Z所代表的複數分別為x、y、z


x=(aw+b)/2、y=(bw+c)/2、z=(cw+a)/2


只要計算驗證x2+y2+z2=xy+yz+zx就好了


 


87班的


若是看到這段


完成上面要驗證的式子


 


 


 


當然


我會再去思考幾何作法


 


 


 




如圖
將△OCX旋轉60度成為△ODP


M為CD中點


則O、X、C、M共圓且O、M、D、Y共圓


∠OPD=∠OXC=90度


故P在OMDY的外接圓上


∠PMD=∠POD=∠XOC=∠XMC


故P、M、X共線


又∠POX=60度


於是△POX為正三角形


=> XP=XO且∠PXO=60度


 


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如圖


觀察△XPY和△XOZ


XP=XO


∠XPY=∠MDY=∠XOB+60°+∠AOZ=∠XOZ


又∠POY=∠POD+∠DOY=∠XOC+∠DOY=(∠BOC+∠DOE)/2
= (180°－∠AOF)/2=90°－∠AOZ=∠OAZ


由正弦定理


PY=ODsin∠POY=OAsin∠OAZ=OZ


故△XPY≡△XOZ


XY=XZ


∠YXZ=∠YXO+OXZ=∠YXO+∠PXY=∠PXO=60度


故△XYZ為正三角形


QED


 


 


若是各位有其他作法


也請告訴我


謝謝!
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