老王的夢田

相似形

許久沒教國中，再加上教材的變化，已經不知道國中是怎樣教相似形了，不過基本上還是”對應角相等、對應邊成比例”吧。那麼判斷兩多邊形是否相似，就從此定義下手，只是三角形較簡單；邊數四以上的多邊形就必須兩個條件都滿足才行。

記得86年以前的教材（就是創創守守之前的那一套），在習題中有這樣的問題：
若OE/OA＝OF/OB＝OG/OC＝OH/OD＝2，則EFGH和ABCD相似。

這個方式也成為畫一個圖形的相似形時的作法，相似比可以自行選取（上例是2），O點也可以任意選取，不管內部、外部，甚至頂點都行。於是如果把兩個多邊形擺好，就可以用”看”的來判斷是否為相似形。

但是”相似”一詞是我們日常生活用語：影印時可以放大縮小，洗照片時可以選擇不同大小，這都是相似形；或者說：老王和哈里遜福特的”相似度”有80%；就是一般”像不像”，或是”有幾分神似”等等用語。但是討論這些範圍太廣了，若是我們不去管那些模糊的部分，或是由觀察者與被觀察者所產生的差異，純粹只專注於幾何圖形，要求”相似度100%”，就是數學上所謂的相似形。

可是平面幾何圖形不只有多邊形吧？最簡單的疑問：兩個圓形是否相似？若是憑感覺回答這個問題，相信絕大部分人的答案都是肯定的。細究原因，可能會得到”看起來像”的回答，只是我們要如何說明”看起來像”這回事呢？回到剛剛把多邊形擺好的圖，O點在外部，調整一下，並且多加一點線條，成這樣：

想像成空間中，α、β是兩個平行的平面，O是兩平面外的一個點光源，在α上有四邊形ABCD，經過O的照射，投影到β上形成四邊形EFGH。

現在做個活動：左手拿個5元硬幣放在眼前，右手拿個50元硬幣放在5元硬幣後面，讓兩硬幣平行，然後調整5元硬幣的遠近，是否在適當的位置上，會看到5元硬幣的邊緣剛好貼在50元硬幣的邊緣上呢？

相似變換

以上也只是大略地講，真正要談各種圖形的相似問題時，就要用到相似變換。因為現在只討論平面圖形，所以就只介紹平面上的相似變換。

定義一：
設T：R²→R²是平面R²上的一個變換，k是固定正數，若對於R²上任意相異兩點
P₁、P₂，都有Q₁Q₂＝kP₁P₂，這裡Q₁＝T(P₁)、Q₂＝T(P₂)，則稱T是R²上的一個比值(相似比)為k的相似變換（similarity transformation）。

顯然在此定義下，相似變換是一對一的。特別地，比值為1時就是
保距變換(isometry)

基本的相似變換是伸縮變換（dilation），或稱為位似變換（homothety）。

定義二：

若O是R²上一點，k是固定正數，稱變換H(O,k)是以O為中心，比值為k的伸縮變換，其定義為若H(O,k)將P映至Q：
（1）若P＝O，則Q＝O
（2）若P≠O，則Q在射線OP上，且OQ＝kOP

注意：這裡的伸縮變換與高中課本所謂的伸縮(stretch)不同，為避免混淆，記成”位似變換”較好；但是我習慣了，以下文中仍稱為伸縮變換。

關於伸縮變換有一些基本性質：

性質一：

伸縮變換是相似變換

性質二：

關於兩伸縮變換的合成有
（1）H(O,k₂)。H(O,k₁)＝H(O,k₁)。H(O,k₂)＝H(O,k₁k₂)
（2）H(O₂,k₂)。H(O₁,k₁)在k₁k₂＝1的情況下會變成平移變換(translate)
（3）在k₁k₂≠1時，H(O₂,k₂)。H(O₁,k₁)＝H(O, k₁k₂)，
其中O在O₁O₂上且O₁O＝[(k₁－1)/( k₁k₂－1)]O₁O₂

這告訴我們兩伸縮變換在中心一樣時是可交換的。只有伸縮變換並不構成群的結構。

至於一般的相似變換性質有：

性質三：

相似變換將線段映成線段、射線映成射線、直線映成直線，圓映成圓。

性質四：

相似變換保持角度大小。

性質五：

令f、g為兩個相似變換，A、B、C為平面上不共線三點，若滿足
f(A)＝g(A)、f(B)＝g(B)、f(C)＝g(C)，則f≡g。

性質六：

相似變換的合成仍為相似變換。

性質七：

相似變換可以化為保距變換和一個伸縮變換的合成。

可以重新定義相似形為：

若平面上兩圖形G₁和G₂，存在一個相似變換f，使得f(G₁)＝G₂，則稱G₁和G₂為相似形。

注意：這個定義包含了原來多邊形的定義。

圓錐曲線的例子

由性質七，我們要判斷兩圖形是否相似，就可以先用平移、旋轉、鏡射等，把它們”擺好”後再看。

例1：（圓）

任意兩圓O₁(半徑r)和O₂(半徑R)，就先平移把圓心放在一起(如放在O₁)變成同心圓，則H(O₁,R/r)就將O₁映成O₂，所以任意兩圓都相似。

（其實由性質三就可以得到這個結論了）

因為在平面上，可以建立坐標系。若中心O(x₀，y_o)，則H(O,k)將(x，y)映至
(x+k(x－x₀)，y+k(y－y₀))，特別地若O為原點，則H(O,k)將(x，y)映至(kx，ky)。

例2：（拋物線）

若Γ：y＝x²；而Γ₁：y＝ax²(其中a＞0)。那麼H(O,a)就將Γ映成Γ₁。

於是Γ和Γ₁就相似，又因相似變換的合成仍為相似變換，所以任意兩拋物線都相似。

這個結論比較難被接受的原因是我們看不到拋物線的全貌，以及課本中強調拋物線有”開口大小”的緣故。想想，拋物線的開口大小不就是焦距嗎？半徑不同的圓可以相似，那焦距不同的拋物線為何不能相似？

看圖可知，BC弧段和DE弧段是相似的。

例3：（橢圓）

若Γ：x²/a²+y²/b²＝1經過H(O,k)的作用後，會變成Γ’： x²/(ka)²+y²/(kb)²＝1，也就是說長短軸都變成k倍，於是焦距也變成k倍，結果就是離心率不變。反過來說離心率相同的橢圓，可以找到相似比為它們長軸長度比的相似變換來對應。故知離心率相同的橢圓才相似。

至於雙曲線情況與橢圓相同，不再贅述。

於是我們可以得到結論：離心率相同的圓錐曲線相似。

參考資料：<<幾何學概論>>趙文敏著