老王的夢田

純代數的解法就可以解決這些問題，但是有時腦筋轉不過來時，就會想不通。那就把圖畫出來，比起在腦袋裡讓兩個小人在跑要真實多了，在這種情況下，相信比較好算。

例題一：

某山路共長6公里 ，甲上山每小時走3公里 ，下山每小時走5公里 ；乙上山每小時走4公里 ，下山每小時走6公里 。乙早10分鐘出發，則他們相遇之點距離山頂幾公里？

【解】

畫出位置對時間圖，時間軸單位為10分鐘，
藍色折線ABC表示乙的情形；而綠線表示甲。
由圖可知在F點相遇
BE＝13－9＝4，DC＝15－1＝14
BE：DC＝2：7
故所求為6×(2/9)＝4/3

例題二：

Smith先生每天固定搭乘同一班火車下班，到達目的車站時間是下午五點，此時他的司機會準時到達，並立刻帶他回家。某天，Smith先生搭乘了較早的火車，到達目的車站是下午四點。此時他步行回家，在路上遇見他的司機，並上車回到家裡，發現比平常提早了20分鐘。幾個星期後某天，Smith先生又搭乘了較早的火車，這次到達目的車站是下午四點半，他還是步行回家，在路上遇見他的司機，並上車回到家裡。問：這次會比平常提早幾分鐘到家？

【解】

首先我們應該體認Smith先生步行和司機開車都是等速的
畫出位置對時間圖，這邊有人可能會覺得不知道步速、車速、以及車站到家的距離，要如何畫呢？沒關係，隨意假設就好(當然須照顧一下實際狀況，如步速應小於車速)。

圖中虛折線ABC表示司機固定的行徑，綠折線DEF表示Smith先生第一次提早的行徑，粗藍折線GHI表示Smith先生第二次提早的行徑。
由題目的條件知道DG＝GB且FC＝20分鐘
因為DE//GH，∴EH＝HB；
又EF//HI//BC，∴FI＝IC
故IC＝10分鐘，也就是這次比平常提早10分鐘到家。

通常這類問題都沒有給距離，用代數解時就假設一個文字代替，而用圖形時就任取一段長度就行。也有些題目是問相遇幾次，也可以畫圖。

例題三：

甲乙兩人從圓形跑道上的A點，朝反方向開始移動，他們的速率分別為
5英呎 /秒和9英呎/秒。若他們在同一時間出發，且當他們第一次共同相遇於
A點時停止，請問這段時間內，他們相遇了幾次？

【解】

因為是圓形跑道，所以上下兩個A點是同一點
注意相同距離所花時間跟速率成反比，以及甲乙的方向，
畫完圖後用算的就好了

用這種方法，去解釋一天中時針和分針重何的次數就很清楚了；也可以用來處理一個古老問題：

例題四：
有一個人早上八點上山，中午十二點到目的地；隔天早上八點沿同一條山路下山，也是在中午十二點到原出發點；他的速率並非固定，但是請證明在八點到十二點之間，必然有個時刻，他經過這段山路的同一個地點。

【解】

把他兩天的位置對時間圖畫在一起，由連續性知道，必有交會時刻。

註：也可以想成是當他上山時，同時有個人從山上下來，那麼由於到達時間相同，必定在途中相遇。

最後，有關蒼蠅難題（註），大家一定很熟悉，也有很多不同的版本，甚至出現在電影<美麗境界>中。見過解法之後，很多人都會記得特殊解法，卻忽略了一些基本問題。以 蔡聰明 教授在數學的發現趣談一書中所列為例。

例題五：

假設有兩列對開的火車，相距100公里 ，右列火車的速度為60公里/時，左列火車的速度為40公里/時。今有一隻機動的鴿子，跟左列火車一齊出發，爾後在兩列火車之間來回地飛。又假設鴿子的速度為80公里/時，並反轉的瞬間速度不變。問當兩列火車相遇時，鴿子共飛了多少距離？

【解】

特殊解法：80×[100/(60+40)]＝80   公里

知道這個解法後，這個問題的樂趣似乎只剩下去問不知道的人。但是若問這隻鴿子第一次從左飛到右飛了多少距離？再從右飛到左？再左到右？這些距離你能算出來嗎？在馮諾曼的傳奇一文中提到有人問他此題，馮諾曼(John von Neumann)很快就算出答案，人家就說他一定是知道特殊解法，他回說：「什麼特殊解法？我是直接計算無窮級數得到的！」（基本上老王覺得可以猜測這是無窮等比級數，但要算出前兩項，也不是那麼簡單的事。）

關於此題，若是用畫圖來解，雖然不能很快得到答案，但是可以看出一些東西；為了方便，將題目中“右列”改為“由南向北開”，“左列”改為“由北向南開”，而鴿子的速度改為500公里/時，且由南方出發。於是做出這個我稱為
「暴龍的牙齒」的圖：

紅線是鴿子的位置對時間圖，要注意的是，每個A_iA_i+1並不是鴿子每段所飛的距離，而是A_iA_i+1在AB上的投影長度才是；但是鴿子的速度不變，所以這是成比例的。

由圖中可以看出，△AA₁A₂~△A₂A₃A₄~△A₄A₅A₆…
以及△A₁A₂A₃~△A₃A₄A₅~△A₅A₆A₇…
若是令a_k表示第k次鴿子由南車飛到北車的距離
b_k表示第k次鴿子由北車飛到南車的距離

於是＜a_k＞和＜b_k＞都是無窮等比數列

並且 A₂A₃/AA₁＝NA₂/NA＝NA₃/NA₁＝A₃A₄/A₁A₂
這說明了＜a_k＞和＜b_k＞的公比相同
所以再令c_k＝a_k+b_k，S_n＝c₁+c₂+…+c_n
c_k也是無窮等比數列，當n趨近無限大時，S_n的極限值就是鴿子飛行的距離
為何這邊要分成兩組數列呢？因為△AA₁A₂和△A₁A₂A₃不相似！所以把這兩組數列合併成一組時，不會形成等比數列；而馮諾曼當時的題目兩車速度一樣，合併時會成等比。

當然，這樣做起來費時又費力，可能是這原因，我還沒有在任何書上看到有人這樣處理這個問題。

(註)：蒼蠅難題原來的敘述如下：有兩個騎自行車的人面對面相距20哩，以每小時10哩的速度相對行駛，同時有一隻蒼蠅以每小時15哩的常速，由向南行駛的車子前輪出發，飛到向北行駛車子的前輪上，然後再飛回向南行駛車子的前輪上，如此繼續下去，直到兩車的前輪碰在一起為止，問蒼蠅共飛了多遠？

【習題】

1.          兩艘渡輪同時離開一條河相對的堤岸，其中一艘比另一個快，它們在離最近的堤岸720公尺相遇。到達對岸後，每艘渡輪停留10分鐘再往回去。在返回時渡輪再次相遇，但是離最近的堤岸400公尺。求這條河的寬度？

2.          一游泳池水道長50公尺，甲乙兩選手分別從兩端同時出發相向而游，甲速度每秒1公尺，乙速度每秒1.25公尺，兩人來回游了20分鐘，若速度大小不變且不計轉向的時間，兩人互相交會幾次(在池邊相會也算)？

3.          證明在「暴龍的牙齒」圖中，△AA₁A₂和△A₁A₂A₃不相似。

4.          在註解中的題目，定義a_k表示第k次蒼蠅由北車飛到南車的距離，b_k表示第k次由南車飛到北車的距離。試證：a₁、b₁、a₂、b₂成等比。

5.          在例題五中，定義鴿子由左到右再回到左為1趟。問，鴿子至少要飛幾趟，所飛行的距離才會超過60公里 ？

【參考資料】

【1】歷屆AMC試題。

【2】數學的發現趣談，蔡聰明著，三民書局。

【3】馮諾曼的傳奇，李國偉．林錦耀．楊家誥合譯，數學傳播二卷四期p87~94。