點到直線的距離 @ 老王的夢田

一個點A到一條直線L的距離是什麼？相信大家都知道，就是從A點作L線的垂直線段長度；但是有另一種定義方式：在L線上取一點P，PA的最小值就是A到L線的距離。

這兩種定義方式都很重要，一定要牢記，尤其當我們學到平面上點到直線距離的公式之後，因為太好用了，以致於其他的東西就忘記了；接著到了空間中，發現沒有公式了，就不知道如何算。

公式的導出，我們會用向量的方式；但是可以先試試看，以目前所學，是否能將這個公式推出來。

【一】用第一種定義

只要找出過A做L的垂直線和L的交點B(我們稱B為A在L上的投影點)，那麼A到L的距離就是線段AB的長度。

至於如何找投影點，這在高一上已經做過了，當時在找對稱點的過程中，就是先找到投影點。步驟如下：

寫出過A且和L垂直的直線方程式。

求出交點即為B。

求AB即為A到L的距離。

實際給個例子：

求原點到直線3x+4y－12＝0的距離。

【解】

直接代公式得距離為12/5

好，如果是國中生，他沒有學以上所講的這些東西，只會畢氏定理，那麼他能否求出這個答案？

畫個圖看看：

令A(0,0)，直線3x+4y－12＝0和x軸交於C(4,0)和y軸交於D(0,3)。過A做垂線垂足為B，那麼距離就是AB，也就是直角三角形ACD斜邊CD上的高。

於是AB＝3×4/5＝12/5

上面這個做法看來還算簡單，主要也是因為ACD的座標容易求出，以及ACD是直角三角形，計算時毫無困難。現在若將A點改在別處又如何？我們還是可以過A做與軸平行的直線，找到C和D，一樣有直角三角形，斜邊上的高一樣好算。如果我們找到的ACD不是直角三角形呢？我們要解的距離依然是CD邊上的高，於是問題就轉成要求三角形ACD的面積，而這個問題，我們可以用補成矩形方式求出，但也可由向量方式可以給出公式。

平面上一無難處，然後推廣到空間中。

當我們教到空間座標後，你們會知道空間中的直線方程式和平面的直線方程式長相完全不一樣，也就沒有跟平面上距離公式型式相當的公式(事實上相當的是點到平面的距離公式)。那要如何求呢？用定義一或是定義二都可以，但是若要寫成公式形式，一般用的寫法卻是國中求高的作法！

不過，這得等我們講完平行四邊形面積的求法才能導出。以下還是用一個例子來做看看：

題目來源:求點到兩平面交線距離

minimize the distance from the point (0,0,0) to the line which the intersection of the two planes: x+2y+3z=6 and x+3y+9z=9

意思就是求原點到兩平面x+2y+3z=6 and x+3y+9z=9的交線的最短距離。

【解】

回答中的作法大都是定義二的想法，大家都可以仔細看看；我現在用國中求高的作法來處理。

首先這兩個平面有個顯然交點為C(0,3,0)，它在y軸上。
我們還需要D點，最好讓ACD構成直角三角形，於是選在xz平面上的點，
解 x+3z=6 和 x+9z=9 得到D(9/2,0,1/2)
AC＝3 、 AD＝(√82)/2 、CD＝(√118)/2
故最短距離為 AC×AD/CD＝3(√82)/ √118＝3(√2419)/59