問題：給定兩個點A和B，要求在一個系統（例如一條直線、一個平面或是一個球面等等）上找到一個點P，使得PA2＋PB2最小。
先從簡單的情況看起：
在平面上，若A的座標為(a,c)、B的座標為(b,d)，求平面上一點P，使得PA2＋PB2最小。
解：
設P(x,y)
PA2＋PB2＝(x－a)2＋(y－c)2＋(x－b)2＋(y－d)2
＝2x2－2(a＋b)x＋2y2－2(c+d)y＋(a2＋b2＋c2＋d2)
＝2[x－(a＋b)/2]2＋2[y－(c＋d)/2]2＋K
所以當P為((a＋b)/2,(c＋d)/2)時PA2＋PB2最小。
也就是此時P為AB的中點
這個結果可以推廣到給定n個點(n≧2)，A1、A2、……、An，求P使得
PA12＋PA22＋……＋PAn2最小。那麼P點位置在這n個點的重心。
將這個結果推廣到空間中也是一樣
接著將題目改為在x軸上求P。
設P(x,0)
PA2＋PB2＝(x－a)2＋c2＋(x－b)2＋d2＝2x2－2(a＋b)x＋(a2＋b2＋c2＋d2)
＝2[x－(a＋b)/2]2＋K
所以當P為((a＋b)/2,0)時PA2＋PB2最小。
如果是給定空間中兩點A和B，要在給定直線L上找一點P，使得PA2＋PB2最小。此時可以將L寫成參數式，然後計算後配方就找到答案。
【例題1】
若A(3,5,8)、B(－3,1,2)，且直線L：(x＋2)/3＝y－1＝z－2，求L上一點P，使得PA2＋PB2最小。
解：
L的參數式為x＝－2＋3t，y＝1＋t、z＝2＋t
PA2＋PB2＝(3t－5)2＋(t－4)2＋(t－6)2＋(3t＋1)2＋(t)2＋(t)2
＝22t2－44t＋78
＝22(t－1)2＋56
當t＝1時P＝(1,2,3)有最小值
【例題2】
若A(3,5,8)、B(－3,1,2)，求xy平面上一點P，使得PA2＋PB2最小。
解：
設xy平面上一點P的座標為(x,y,0)
PA2＋PB2＝(x－3)2＋(y－5)2＋64＋(x＋3)2＋(y－1)2＋4
＝2x2＋2y2－12y＋112
＝2x2＋2(y－3)2＋94
當P為(0,3,0)時有最小值
可是如果例題2的平面改為如x＋y＋z＝0這樣一般的平面，PA2＋PB2會整理成二元二次的函數型式，當然還是可以做，只是有點麻煩。
且看下面：
令M為A和B的中點
由三角形中線定理得到PA2＋PB2＝2(PM2＋AM2)
如此一來，因為AM為固定值，本來有PA和PB未知，轉成只有PM未知，所以要求PA2＋PB2最小相當於求PM最小就可以了。
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