老王的夢田

以前我們介紹過直線系、平面系，其實就是把符合某種條件的相同物件集合在一起，然後去求其他也是符合同一個條件的東西。例如：

1.        y＝mx表示過原點的直線系（除了鉛直線），其中m是參數。

2.        t(x＋y)＋s(2x－y－4)＝0表示通過x＋y＝0和2x－y－4＝0兩直線交點的所有直線，其中t和s是參數。

3.        y＝x＋k表示所有與y＝x平行(或是斜率為1)的直線，其中k是參數。

如果是圓的話，可以有：

1.        x²＋y²＝r²表示圓心在原點的所有圓(同心圓)，其中r是參數。

2.        (x－h)²＋(y－k)²＝9表示半徑為3的所有圓，其中h、k是參數。

3.        (x－a)＋(y－a)＝a表示圓心在直線y＝x上且與x軸相切的圓，其中a是參數。

我們最常看到的情形是：給交於P的兩直線L₁和L₂，那麼直線系k₁L₁＋k₂L₂表示通過P的所有直線（其中k₁和k₂不全為0）。那麼我們可以考慮給定兩個圓
C₁：x²＋y²＋d₁x＋e₁y＋f₁＝0和
C₂：x²＋y²＋d₂x＋e₂y＋f₂＝0，

那麼圓系k₁C₁＋k₂C₂……（※）代表什麼呢（其中k₁和k₂不全為0）？

首先可以了解，（※）仍為圓的一種，因為它仍然保持xy項係數為0且x²和y²的係數相等；接著只要確認是否為一個圓。

若（※）可以寫成x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0

那麼D＝(k₁d₁＋k₂d₂)/(k₁＋k₂)，E＝(k₁e₁＋k₂e₂)/(k₁＋k₂)，F＝(k₁f₁＋k₂f₂)/(k₁＋k₂)

計算D²＋E²＋4F是很麻煩的，而且無法確定是否為正，所以用另一種看法：

＜第一種情形＞

如果C₁和C₂有交點，那麼（※）也會通過這個交點。於是若是C₁和C₂有兩個交點，（※）也會過這兩個交點，而相異兩圓最多只有兩個交點，所以這種情況下，（※）表示所有過這兩點的圓。（也就是此圓必然存在）

＜第二種情形＞

若是C₁和C₂僅一個交點(相切)，（※）所表示的圓中任兩圓，必然也只有一個交點，也就是（※）表示過切點且與這兩圓都相切的圓。（除了在切點會形成點圓外，其他情形圓都存在）

＜第三種情形＞

如果C₁和C₂沒有交點呢？這就很難描述了。不過藉由前兩種情形可以發現一件事：（※）中任兩圓都共用同一個根軸。在第一種情形中，因為一定通過兩交點，所以任兩圓的根軸都是交點連線；在第二種情形中，因為都在同一個切點相切，過這個切點的公切線也是所有圓的公切線，也就是任兩圓的根軸。所以可以猜測（※）中任兩圓的根軸與C₁和C₂的根軸相同。（也可以猜測此時根據k₁和k₂不同而有圓、點圓、和虛圓）

為了證明這件事，從根軸這篇知道，C₁和C₂的根軸方程式為C₁－C₂，也就是k₂/k₁＝－1的情形。接著我們只要證明任選（※）中兩圓k₁C₁＋k₂C₂和t₁C₁＋t₂C₂，他們的根軸也是C₁－C₂就好。也就是

(t₁＋t₂)( k₁C₁＋k₂C₂)－(k₁＋k₂)( t₁C₁＋t₂C₂)

＝(t₂k₁－t₁k₂)C₁＋(t₁k₂－t₂k₁)C₂

＝(t₂k₁－t₁k₂)( C₁－C₂)

如果t₂k₁－t₁k₂＝0，表示選出來的兩個圓是同一個；因此t₂k₁－t₁k₂≠0，他們的根軸與C₁－C₂相同。

至此我們證明了（※）中任兩圓的根軸就是C₁和C₂的根軸，於是我們稱呼這樣的圓系叫做「共軸圓系」（coaxial）。

又區分為：

＜第一種情形＞叫做橢圓式的共軸圓系(elliptcial pencil of coaxial circles)；

＜第二種情形＞叫做拋物線式的共軸圓系(parabolic pencil of coaxial circles)；

＜第三種情形＞叫做雙曲線式的共軸圓系(hyperbolic pencil of coaxial circles)。