兩圓的夾角:


我們知道兩直線的夾角,若是兩圓有交點,我們也可以定義它們的夾角,這並非不可思議,而是如果我們變成很小很小,在交點附近,其實感覺兩圓就像兩直線。這跟我們在地球上,明明是球體,可是我們卻覺得附近是平面的道理一樣。所以我們定義兩圓夾角如下:


【定義】若兩圓C1C2交於A,過A分別作兩圓的切線L1L2,則兩圓的夾角定義為L1L2的夾角。


如果C1C2只有一個交點,這定義當然沒問題;如果有另一個交點B,那麼AB會對稱於連心線,由對稱性可以看出在A的夾角與在B的夾角是相同的。進一步來說,因為L1AC1垂直,而且L2AC2垂直,所以L1L2的夾角等於AC1AC2的夾角。


注意:直線的夾角有兩個。


 


正交圓:


如果兩圓的夾角是直角,那麼我們稱這兩個圓正交(orthogonal),或是直交;這兩個圓就叫正交圓或是直交圓(orthogonal circles)。


若兩圓正交,L1會過C2L2C1,或是說AC1C2為直角三角形。用r1r2分別表示圓C1C2的半徑,那麼C1對圓C2的冪就等於r12,同樣的C2對圓C1的冪就等於r22。同時也有


C1C22r12r22…………………………………1


再就解析幾何來看,若兩圓方程式為


C1x2y2d1xe1yf10………………………………………2


C2x2y2d2xe2yf20………………………………………3


圓心C1的坐標為(d1/2 , e1/2),半徑平方r12d12/4e12/4f1


代入計算C1對圓C2的冪為


d12/4e12/4d1d2/2e1e2/2f2d12/4e12/4f1


d1d2e1e22(f1f2)……………………………………4


 


注意:(4)式只是必要條件。


 


由正交圓的定義,就有下面的定理:


【定理】給定兩圓C1C2,與它們都正交的圓,其圓心軌跡為C1C2的根軸。


【證明】令圓C的半徑為r,且與C1C2都正交,那麼C 對圓C1的冪就等於r2;並且C對圓C2的冪就等於r2,於是C對兩圓的冪相等,CC1C2的根軸上。
另一方面,在C1C2的根軸上取一點P,那麼PC1C2的冪相等,也就是從P作兩圓的切線長相等,因此以P為圓心,這個切線長為半徑作圓,會與C1C2都正交。


 


我們也可以用同樣方式定義圓與直線的夾角如下:


【定義】若圓C與直線L交於A,過A分別作圓C的切線M,則C與直線L的夾角定義為LM的夾角。


同樣的,圓C與直線L另外有交點B時,過圓心CL的垂線N,那麼整個系統會對稱於N,由對稱性可以知道在A的夾角與在B的夾角是相同的。


C若與L垂直,我們也稱為正交,此時很明顯L必然通過圓C的圓心。


 


相關詞:點對圓的冪根軸

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