我們已經了解關於直線的對稱,在此要談關於圓的對稱。


如果把直線看成圓心在無窮遠半徑無限大的圓,那麼這個圓的對稱意義就已瞭解;現在只是要推到一般的圓。


首先是P對直線L的對稱點Q定義如下:


PL上,對稱點Q就是P本身;


P不在L上,此時QPL的異側,PQL垂直,且PQL的距離相等。換句話說,LPQ的中垂線。


 


至於一般的圓C,對於同平面上的點P,要如何定義對稱點Q呢?如果P在圓C上,那麼Q應該還是P本身;如果P不在圓上,先假設在圓外好了,那麼很自然的想Q應該在圓內。這可以由直線的對稱,其對稱點在線的異側推想。再來是PQ要和圓C垂直,於是直線PQ就會通過圓心。最後是Q的位置,如果P和圓心連線交圓CA,過A作圓的切線,把P關於圓C的對稱點當成關於過A的切線的對稱點,這樣可以嗎?如果這樣,P拉遠一些,Q就會跑到圓的外面,這與Q應該在圓內的想法不符,於是在這邊需要修正。



如何修正?既然是圓,我們就用圓的觀點來看直線的對稱:在P對直線L的對稱點Q來作過PQ的直線只有一條,但是作過PQ的圓卻有無限多個,而這些圓有什麼共同的特性呢?顯然這些圓的圓心都在L上。如果類推到圓的情形可不可以呢?這就得看Q能不能找到。在圓C上任取一點M,以M為圓心MP為半徑做圓,當M在圓C上繞一圈時,這所有的圓M是否會有一個共同的交點?可惜答案是否定的,因為選到PC連線上的兩個點當圓心時,這兩圓顯然內切,除P以外不會有其它交點。



再仔細思考,圓心在L上的圓還有另外一個性質,它們都與L正交。能不能類推?假設P在圓外,先作一個過P且與圓C正交的圓K,首先可以知道C會在圓K的外部,連接CP與圓K交於另一點A,並假設B是圓C與圓K的一個交點,那麼我們知道
CB2
CA×CP………………………………………………1


1)式中的CB就是圓C半徑,CP也知道,於是A的位置就確定,不因圓K改變而改變,這正是我們要的!我們也可以驗證,過PA所有的圓都與圓C正交。於是我們就定義P關於圓C的對稱點為A



若圓C半徑為r,設CPp,那麼(1)式可改為
CA
r2/p……………………………………………………2)。


如果P在圓內,CA就會大於圓的半徑,故定義如下:


【定義】P關於圓C的對稱點Q
P在圓上,則QP
P不在圓上,則QCP射線上,且CQr2/p,其中pCP


在此定義下,圓心C的對稱點為無窮遠點。


假設CP射線與圓C交於D,並且令PDaDQb,那麼(1)式可以改為
r2
(ra)(rb)……………………………………………3
a
bab/r………………………………………………4


在(4)式讓半徑趨近無限大,可以得到ab,這就是直線的情形。


 


如何做出P關於圓C的對稱點:


【作法】


CP為直徑做一圓,交圓CAB


連接ABCPQQ即為所求。


【證明】


由直角三角形子母相似性質即得。




 


相關詞:正交圓


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