【定義】:一線上順次有ACBD四點,若滿足ACCBADDB,則稱CDAB的調和共軛點,或是ABCD為調和點列。


為什麼稱為調和點列呢?由ACCBADDB
A
C(ABAC)AD(ADAB)
(AB/AC)
11
(AB/AD)
(1/AC)
(1/AD)2/AB


ACABAD為調和數列,所以稱為調和點列。


 


如何找調和共軛點?


已知:直線AB,上面一點C


求作:CAB的調和共軛點


作法:


I、若CAB中點
  
則其調和共軛點為無窮遠點


II、其他


1.     直線AB外任取一點P


2.     連接PAPBPC


3.     PC上取一點E


4.     AEPBF


5.     BEPAG


6.     FGABD


7.     D為所求


C在內部



C在外部



證明:


1.      三角形ABP中,AFBGPC三線共點,由西瓦定理得(PG/GA)(AC/CB)(BF/FP)1


2.      GFD三點共線,由孟氏定理得(PG/GA)(AD/DB)(BF/FP)1


3.      比較兩式即得ACCBADDB


 


基本的調和點列:


1.        在三角形ABC中,A的內、外角平分線分別與BC直線交於DE,則BCDE為調和點列。



2.        在三角形ABC中,其內切圓與BCACAB邊切於DEF;延長EF與直線BC交於G,則BCD、G為調和點列。



 


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