今天課堂上所提的巴斯卡定理,有關於它的應用,後來我用棋盤方格走捷徑方式來解釋,不知你們是否完全了解並且類推,所以寫下這篇讓你們加深印象。


先看巴斯卡定理:


C(nm)C(n1m1)C(n1m)


我說要記下上面的式子不靠強記,而是用組合情境去記它


左邊C(nm)看成從n個物品挑出m個的方法數;


右邊看成針對某個特定物品來看,分成兩種互斥情況:


選到這個特定物品,就再從剩下的n1個挑出m1個,有C(n1m1)種;


沒有選到這個特定物品,就再從剩下的n1個挑出m個,有C(n1m)


所以得到巴斯卡定理。


如果你問這算不算證明?個人認為由加法原理可以得證,也就是「可以」;但是如果真的考它的證明,還是請用算的。


 


換句話說,巴斯卡原理是隱藏著加法原理的。


 


棋盤方格走捷徑的問題也可以用加法原理處理:



 


如上圖,從A走捷徑到B,共有幾種走法?大家都知道,我們可以用加法原理慢慢算,也可以視為9個「右」和5個「上」的直線排列數,因為每一種直線排列就對應一種走法。


答案就是14/ 9!× 5


這個答案就等於C(149)C(145)


這是巧合,別這麼記答案


 


再看,從AE有幾種走法?答案:7/ 4!× 3!=C(73)


可是我們知道,從AE可以分成ACEADE,而
A
CE6/ 4!× 2!=C(62)
A
DE6/ 3!× 3!=C(6
3)
C(73)C(62)C(63)


看!這不就是巴斯卡定理嗎!!


 


【例題】


C(44)C(54)C(64)C(74)C(84)C(94)C(104)C(114)C(124)C(134)=?


【解】



如圖,將上面十項視為分別從A走捷徑到A1A2、…、A10的方法數,


然後從A走到B1的方法數等於A走到A1的方法數;
A走到B2的方法數等於A走到B1的方法數與A走到A2的方法數之和;
A走到B3的方法數等於A走到B2的方法數與A走到A3的方法數之和;
……………………………………………………
A走到B的方法數等於A走到B9的方法數與A走到A10的方法數之和。


故其和等於C(145)2002


 


 


習題:


某項比賽方式為甲乙各派五名代表出賽,沒有平手,輸的一方就由下一名選手上陣,直到五名選手全部輸掉,則對方得勝。問共有幾種比賽經過?


 

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