老王的夢田

極線的性質

另一種角度證明極線

A、B關於圓O對稱，A在圓O外部，EF是過B且垂直AB的弦；過A做一直線，和圓交於M、N兩點，和EF交於K，則A、K；M、N是調合點列。

【證明】

作直線OA交圓O於C、D，

由阿波羅尼斯圓定理知道，以CD為直徑的圓就是滿足PA：PB＝AC：CB的P點軌跡，

所以MA：MB＝AC：CB＝NA：NB

改寫成MA：NA＝MB：NB

這告訴我們BA是∠MBN的外角平分線，

又BK⊥BA，故BK是∠MBN的內角平分線，

於是A、K；M、N是調合點列。

也可以看出，若A在圓O外部，過A作兩切線AE和AF，其中E和F是切點，那麼A關於圓O的極線其實就是直線EF。

再注意到，由直角三角形子母相似和圓冪性質得到AB×AO＝AE²＝AM×AN，所以M、B、O、N四點共圓。把這個圓做出來，與直線EF交於X，因為∠OBX是直角，所以OX是這個圓的直徑。連接OM、ON、XM、XN，有∠OMX＝∠ONX＝90°，所以XM和XN是圓O的切線。

如果B在圓O內部，過B的直線和圓O交於M、N兩點，同樣由直角三角形子母相似和圓冪性質得到BO×BA＝BE＝BE×BF＝BM×BN，故A、M、O、N四點共圓。把這個圓做出來，與直線AK交於X，因為∠OAX是直角，所以OX是這個圓的直徑。連接OM、ON、XM、XN，有∠OMX＝∠ONX＝90°，所以XM和XN是圓O的切線。

由上面的論述，我們證明了底下這個性質：

【性質一】

給定圓O，過點A作直線與圓O交於M和N，分別過M、N作圓O的切線，兩切線的交點在A關於圓O的極線上。