老王的夢田

【性質二】

給定圓O，以及圓外一點A，過A兩直線分別與圓O交於P、Q和R、S，則直線PR和QS的交點，以及直線PS和QR的交點都在A關於圓O的極線上。

【證明】

令直線EF是A關於圓O的極線，直線APQ和EF交於K，直線ARS和EF交於L，

那麼AP：PK＝AQ：QK而且AR：RL＝AS：SL

假設直線PR和EF交於Y，對△AKL以PRY為截線用孟氏定理得

(AP/PK)×(KY/YL)×(LR/RA)＝1

將調合點列的條件代入，上式變成

(AQ/QK)×(KY/YL)×(LS/SA)＝1

由孟氏逆定理知Q、S、Y三點共線，

也就是PR和QS的交點在極線EF上。

同法可證PS和QR的交點在極線EF上。

由以上兩個性質，可以證明下面兩個初等幾何難題：

【問題一】

若ABCD是圓外切四邊形，E、F、G、H分別是內切圓在邊AB、BC、CD、DA上的切點，那麼對角線AC、BD，以及對邊切點連線EG、FH，這四條線會共點。

【證明】

延長EF和GH交於I，由性質一知道，B和D都在I關於圓的極線上，也就是BD就是這條極線；

由性質二知EG和FH的交點在BD上。

延長EH和FG交於J，同理EG和FH的交點在AC上，

故AC、BD、EG、FH，這四條線會共點。

【問題二】

若ABCD是圓外切四邊形，E、F、G、H分別是內切圓在邊AB、BC、CD、DA上的切點。則AC、EF、GH三線共點，以及BD、EH、FG三線共點。（注意，如果三線平行表示交於無窮遠點）

【證明】

延長EF和GH交於I，延長EH和FG交於J，由問題一的證明中知道BD是I關於圓的極線，那麼由性質二知J在BD上，故BD、EH、FG三線共點。

同理AC、EF、GH三線共點。