老王的夢田

交比（cross ratio）

「交比」是射影幾何的重要元件，分成以下三類：

四共線點的交比、四共點線的交比、四共圓點的交比。定義分述如後：

【有向線段比】

如果一直線上有三點A、B、C，定義有向線段比AC/CB為

若向量AC和向量CB同向，也就是C在A、B之間，則AC/CB＝AC/CB。

若向量AC和向量CB反向，也就是C在A、B之外，則AC/CB＝－AC/CB。

【四共線點的交比】

若A、B、C、D四點共線，定義交比(ABCD)或是(A，B；C，D)為

(ABCD)＝(AC/CB)：(AD/DB)

舉例來說，若(A、B；C、D)是調合點列，那麼交比(ABCD)
＝(AC/CB)：(AD/DB)＝(AC/CB)：[－(AD/DB)]＝(AC/CB)：[－(AC/CB)]＝－1

如果在線外取一點P，記直線PA、PB、PC、PD分別為a、b、c、d，再記PA、PB的夾角∠APB為(a，b)等等，
先看△PAC和△PBC，由面積關係可以得到
(PAC)/(PBC)＝AC/CB＝PA×PC×(sin∠APC)/PB×PC×(sin∠BPC)
＝[(sin∠APC)/ (sin∠BPC)]×(PA/PB)

同理可以得到

AD/DB＝[(sin∠APD)/ (sin∠BPD)]×(PA/PB)

【四共點線的交比】

我們知道夾角(a，b)有兩個，但是正弦值是相等的。但是若我們考慮方向，令(a，b)表示由PA為始邊，PB為終邊的角度，此時夾角就有正負號。那麼若是C在A、B之間，(a，c)和(c，b)同號；若是C在A、B之外，(a，c)和(c，b)異號。接著定義四共點線的交比(abcd)或是P(A，B；C，D)為

(abcd)＝(sin(a，c)/sin(c，b))：(sin(a，d)/sin(d，b))

由交比定義以及上面的關係式可以知道，(ABCD)＝(abcd)

【四共圓點的交比】

若A、B、C、D四點共圓，在圓上另取一點P，那麼由於圓周角的性質知道，線交比P(A，B；C，D)的值與P點位置無關，就定義四共圓點的交比(ABCD)或是(A，B；C，D)＝P(A，B；C，D)

在處理射影幾何時，常會用到點和線的交比；處理反演幾何問題，就會用到圓的交比。不過也可以用來處理一般的幾何問題。

先看個定理：

【透視保持交比】

現有共點線束a、b、c、d，直線L與它們的交點依序為A、B、C、D；直線M與它們的交點依序為E、F、G、H，那麼

(ABCD)＝(EFGH)

【證明】

由定義(ABCD)＝(abcd)＝(EFGH)

得證

由此我們可以知道，調合點列不過是交比性質中的特例罷了。

最後，介紹用交比來處理幾何問題。

【例題1】

如圖AB＝BC＝CD＝1，EF＝2，FG＝3，求GH＝？

【解】

因為(ACBD)＝(EGFH)

假設GH＝x

1/1：3/1＝2/3：(5＋x)/x

解得x＝5

這是去年(97)附中第二次教師甄試的題目，也可以用孟氏定理去解，但是容易陷入一堆比例式之中。

【例題2】

證明蝴蝶定理的一般型式：

設AB是圓O的一弦，M是AB上任一點，過M作圓O的兩弦CD和EF。若CF與DE分別交AB於G、H，而G在AM上且H在BM上，試證：

1/GM－1/HM＝1/AM－1/BM

【證明】

A、D、F、B共圓，C、E在圓上，所以圓交比(ADFB)從C或E來看是相同的

線交比C(A，D；F，B)＝E(A，D；F，B)，

轉換成直線AB的交點為點交比(AMGB)＝AHMB)

(AG/GM)：(AB/BM)＝(AM/MH)：(AB/BH)

AG×BM/GM×AB＝AM×BH/MH×AB

AG×BM/GM＝AM×BH/MH

AG/AM×GM＝BH/BM×HM

(AM－GM)/AM×GM＝(BM－HM)/BM×HM

1/GM－1/AM＝1/HM－1/BM

1/GM－1/HM＝1/AM－1/BM

得證

蝴蝶定理是在M是AB中點的特殊情況，當此之時，由上式也可以馬上得到
GM＝HM