非標準的圓錐曲線方程式


 


說真的,我實在不知道要不要發這一篇,我不在乎誰拿去當他的成果,但是我怕流入某些補習班或是參考書手裡時,以後就會在講義或參考書中看到這些題型。不過兩年前我在全教會選聘網就發表過這個想法了,只希望看到的人不要在高二就教學生;至今沒在參考書上看到,所以我認為還好;再加上高三已經把座標軸平移旋轉刪掉了,所以就教你們吧。


 


其實基本想法很簡單,我在龍騰的刊物上也有看到有人以「圓錐曲線的準標準式」為題發表類似看法,不過我想他只是從平移旋轉後的結果看出來,不像我接下來要講的。


 


回想平面點坐標的定法是什麼?


x表點到y軸的距離,y表點到x軸的距離,以及我們給予方向(正負號)


接著我們才操作xy,完成一些代數運算。


 


非標準的圓錐曲線,我們一般是說他是「斜的」,也就是它的對稱軸與座標軸不平行。如果我們重新設定座標系,把它的對稱軸當成座標軸,不就變成標準的(正的)嗎?這就是坐標軸平移旋轉的想法,轉成正的之後就知道它的一些基本資料,如它是哪種錐線?焦點距離,長短軸,等等,只是此時座標是相對於新的座標系,必須換回原來的座標系才行。但是要去做旋轉,其實是很討厭的。如果我們事先知道新的座標軸關於原來座標的方程式,就可以直接寫出方程式。


 



 


 


雙曲線與之類似,而拋物線因為標準式中有一次項,所以必須考慮去絕對值,就必須考慮方向。一般我們習慣逆時針旋轉,且旋轉角是銳角,所以四個象限就應該在右上、左上、左下、右下。兩線垂直,其斜率必然一正一負(請不要白目的問說如果斜率是0怎麼辦?),於是我們就規定:


1.        斜率為負的那條直線為x


2.        x軸方程式中x項的係數為負


3.        y軸方程式中x項和y項的係數為正


如此便如我們要求的方向了。


 


【例題1


設一拋物線的對稱軸為直線yx,且通過A(1,0) B(0,1) C(1,1) 三點,試求這拋物線的方程式。


 


【解】


因為C在對稱軸上,所以C是頂點,


於是以-xy0x軸;xy20y軸,


A點位置看出開口向左,假設拋物線方程式為


[(xy)/√2]2=-4c(xy2)/√2


(1,0)代入得到-4c/√2=-1/2


故為(xy)2=-(xy2)


展開得x22xyy2xy20


 



 


至於給一般式要如何化成這種形式,還是要用座標軸平移旋轉會比較好。

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