老王的夢田

圓錐曲線的直徑

沒錯，圓錐曲線也有直徑，與焦半徑沒啥關係，而且這是個經常在參考書中出現的題目（不過我也不知道出參考書的人是否知道這叫直徑），課本卻都沒有說。

圓有直徑，這你早就知道，而且知道直徑是通過圓心的弦。那能否類推到其他的錐線呢？想想看，其他錐線有「圓心」嗎？沒有。但是橢圓和雙曲線有對稱中心，是否能代替圓心呢？接下來會說明。但至少拋物線沒有「心」，所以我們要給出一種適合所有錐線的定義，當然這個定義也包含圓的直徑。

圓的直徑有另外一種性質，就是過直徑上任一點作此直徑的垂弦，中點必為此點。而這些弦彼此平行，於是就定義如下：

【定義】圓錐曲線的直徑

在給定圓錐曲線上，一組平行的弦，他們的中點會在一直線上，稱這些中點的集合為此圓錐曲線的直徑。

【拋物線的直徑】

給定拋物線y²＝4cx，所有斜率為m的弦，其中點在一條平行於對稱軸的直線上。

【證明】

假設弦所在的直線方程式為y＝mx＋k（注意到現在的參數是k）

也就是x＝(y－k)/m

代入拋物線方程式得到

y²＝4c(y－k)/m

y²－( 4c /m)y＋4ck/m＝0

若此方程式的兩個解為y₁、y₂，就是此弦兩端點的y座標，那麼中點的y座標就是(y₁＋y₂)/2。

由根與係數關係知道y₁＋y₂＝4c/m，與k無關，所以這是一個定值；

換句話說這些中點的y座標都是2c/m，也就是都在y＝2c/m上

故這些中點在一條平行於對稱軸的直線上。

我們就稱這些中點集合為「拋物線的直徑」，在拋物線會是一條射線，它會平行於對稱軸，特別地，對稱軸本身也是一條直徑。

【橢圓的直徑】

給定橢圓x²/a²＋y²/b²＝1，所有斜率為m的弦，其中點在一條通過中心的直線上。

【證明】

假設弦所在的直線方程式為y＝mx＋k（注意到現在的參數是k）

代入橢圓方程式得

x²/a²＋(m²x²+2mkx+k²)/b²＝1

b²x²＋a²m²x²＋2a²mkx＋a²k²－a²b²＝0

若此方程式的兩個解為x₁、x₂，就是此弦兩端點的x座標，那麼中點的x座標就是(x₁＋x₂)/2。

由根與係數關係知道x₁＋x₂＝－2a²mk/( b²＋a²m²)

中點的x座標就是x＝－a²mk/( b²＋a²m²)

這個中點也在直線y＝mx＋k上，以k＝y－mx代入

( b²＋a²m²)x＝－a²m(y－mx)

b²x＝－a²my

y＝(－b²/ma²)x

這就是這些中點所要滿足的方程式，故知此為直線，通過(0,0)。

我們就稱這些中點集合為「橢圓的直徑」，在橢圓是一個線段，它會通過中心(因為中心必為過中心的弦的中點)，特別地，長軸與短軸也是直徑。

【共軛直徑】

假設d為橢圓x²/a²＋y²/b²＝1的一條直徑，那麼與d平行的弦中點也會構成一條直徑d’，稱為d的「共軛直徑」；當然，d也是d’的共軛直徑。特別地，長軸和短軸是一組共軛直徑。

若d的斜率為m，那麼d’的斜率為何？從前面的證明中知道，d’的斜率為
(－b²/ma²)；也可以將(－b²/ma²)代入就會得到m。這說明了互為共軛的兩直徑，其斜率乘積為(－b²/a²)。

【雙曲線的直徑】

給定雙曲線x²/a²－y²/b²＝1，所有斜率為m的弦，其中點在一條通過中心的直線上。

【證明】

假設弦所在的直線方程式為y＝mx＋k（注意到現在的參數是k）

代入雙曲線方程式得

x²/a²－(m²x²+2mkx+k²)/b²＝1

b²x²－a²m²x²－2a²mkx－a²k²－a²b²＝0

若此方程式的兩個解為x₁、x₂，就是此弦兩端點的x座標，那麼中點的x座標就是(x₁＋x₂)/2。

由根與係數關係知道x₁＋x₂＝2a²mk/( b²－a²m²)

中點的x座標就是x＝a²mk/( b²－a²m²)

這個中點也在直線y＝mx＋k上，以k＝y－mx代入

( b²－a²m²)x＝a²m(y－mx)

b²x＝a²my

y＝(b²/ma²)x

這就是這些中點所要滿足的方程式，故知此為直線，通過(0,0)。

我們就稱這些中點集合為「雙曲線的直徑」，在雙曲線是一條直線或是兩射線，它會通過中心(因為中心必為過中心的弦的中點)，特別地，貫軸與共軛軸也是直徑。

如同橢圓，雙曲線也有共軛直徑。

直徑與錐線的交點稱為此直徑的「端點」，根據直徑的定義，以及簡單的推論，過端點作那些平行弦的平行線為此錐線過端點的切線。（請完成證明）。